Petit problème d'approximation

[charlesb]

Bonjour, pour mon premier post sur ce forum je désire ouvrir les "hostilités" dignement en vous soumettant le petit problème suivant qui me laisse perplexe:

Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de 6 pouvant tomber lorsque l'on jette un dé n fois.

La première question me demande de déterminer la loi que suit la variable X et je réponds donc que X suit une loi binomiale de paramètre (n, 1/6), les évènements étant équiprobables.

On me demande ensuite de calculer l'espérance et la variance de X
E[X] = n.p = n/6 dans ce cas et var[X] = n.p(1-p)= n/6 * 5/6 = 5n/36, et l'écart-type est égal à la racine de cette variance.

Jusque là tout parait OK.

La troisième question demande d'approximer cette variable X par une nouvelle variable Y suivant une loi normale, le chiffre n étant assez grand et donc de donner la loi de Y.
Je répond que Y suit une loi normale de paramètre (n/6, 5n/36)

Vient ensuite le calcul de P(Y<0) et P(Y>n) en fonction de n à l'aide de la fonction de répartition Phi de la loi normale standard, et là ça coince:

j'approxime donc comme suit:
P(Y<0) = P((Y-mu)/sygma < (0-n/6)/racine(5n)/6 )
et donc P(Z>racine(5n)/5) = Phi (racine(5n)/5) ce qui m'a l'air correct

Procede identique pour P(Y>n) qui équivaut à
P(Z>racine(5n)) = Phi(racine(5n))

le hic c'est quand on me demande de calculer P(Y>n) pour n=12 et je trouve racine de 60 = 7,7 ce qui est trop grand pour la table de la fonction de répartition, je suis un peu coincé pour la suite

On me demande ensuite de calculer P(Y<0) pour n=24 et de déterminer pourquoi cette approximation est absurde.

Quelqu'un peut-il m'aider svp??

Merci pour votre attention.

[nuage]

Salut,
quand on sort de la table par le haut on approche la probabilité par 1.

On peut remarquer que ce résultat est logique : quand on lance 12 fois un dé on est certain d'obtenir au plus 12 six.

Un raisonnement du même type donne la probabilité d'avoir un nombre négatif de fois six : si on ne trouve pas à peu près 0, l'approximation est mauvaise.

[charlesb]

Merci! Ca m'éclaire beaucoup par rapport au raisonnement. Juste une chose: comment parcours-tu la table par le haut pour trouver la probabilite correspondante pour de grandes valeurs??

[nuage]

Je ne sais pas où s'arrête ta table (par exemple 4,5) au delà tu peut considerer que les valeurs sont égales à 1.
La valeur que j'ai donné provient d'un logiciel de calcul. Mais elle est totalement inutile.
Une différence de entre 2 probabilités est presque toujours négligeable. Pour ne pas dire toujours dans les cas pratiques.

[charlesb]

Ma table s'arrêtait à 4,0 , comme je pensais que le résultat était trop grand j'ai tout de suite eu un doute. De plus j'avais mal interprété P(Y>n) que je considérais comme étant la probabilité d'avoir plus de 12 "6" (donc nulle) et non au plus 12 "6", la nuance n'est pas évidente à partir de P(Y>n).

Merci encore :)