Fonction cosinus

[maxdu84]

Bonjour, mon prof de math m'a donné un exercice à faire, il y a particulièrement une question à laquelle je bute, la voici :

f(x)=3[cos(pie-x)]^2-5cos(7x)+2

La question est : cette fonction est-elle paire?

J'ai réfléchi à la question, pour l'instant je ne sais qu'une chose :
un fonction cos est paire si f(x)=f(-x)

Merci d'avance.

[bombastus]

Bonjour,

attention, ton titre n'est pas conforme avec le règlement que tu peux lire ici :
règlement

(edit : ok, tu as déjà modifier le titre!)

Pour ta question, as-tu essayer de calculer f(-x)?

[maxdu84]

Non je n'ai pas essayé car je ne comprends pas commet je dois faire. Merci de me décrire le chemin à suivre

[bombastus]

Et bien si tu voulais calculer f(5), tu remplacerai x par 5, non?

Ici on veut f(-x), donc on remplace x par -x :
f(x)=3[cos(pie-(-x))]^2-5cos(7(-x))+2

[maxdu84]

D'accord donc si dans l'énoncé du début et celle que tu m'as donné lorsque l'on remplace x=5, qu'est-ce que l'on doit obtenir pour que la fonction soit paire?

[bombastus]

Non, pardon pour l'histoire du 5, c'était pour te montrer comment calculer f(-x). Donc oublie l'histoire du 5.


Ce que l'on veut , c'est que quel que soit x appartenant à R,
f(x)=f(-x)

Donc il faut que ce soit vrai pour tout les x.
Pour prouver cela, on calcul f(-x) :
f(-x) = 3[cos(pi-(-x))]^2-5cos(7(-x))+2
...
...
et le but c'est d'arriver à:
f(-x)=f(x)

Donc il faut transformer cette expression
f(-x) = 3[cos(pi-(-x))]^2-5cos(7(-x))+2

Pour cela, par exemple, compare :
cos(7(-x)) et cos(7x)
et
cos(pi-(-x)) et cos(pi-x)

[maxdu84]

Comment? Tu veux dire comme si on comparait deux nombre normaux?

[bombastus]

Oui comme deux nombres normaux.

On a :
cos(7(-x))=cos(-7x)
Or la fonction cosinus est pair (cos(-x)=cos(x)), donc
cos(-7x)=cos(7x)

Essaie de réfléchir sur
cos(pi-(-x)) et cos(pi-x)
cos(pi+x) et cos(pi-x)
(Est-ce que ces 2 expressions sont égales?)

[maxdu84]

On sait que cos(pi+x)=-cos x
on sait aussi que cos(pi-x)=-cos x
Donc cos(p+x)=cos(pi-x)=-cos x

C'est ça?

[bombastus]

Oui, donc il faut retenir que cos(pi+x)=cos(pi-x)

Donc f(-x)=...

[maxdu84]

on doit retenir que f(-x)=f(x) ?

[bombastus]

Exactement, :++:

[maxdu84]

merci beaucoup.