Encadrement de la fonction cosinus

[cokotte_du57]

Bonjour. En effectuant l'exercice suivant j'ai rencontré plusieurs difficultés, et j'éspère que quelqu'un pourra m'aider.

1. f est la fonction définie sur [0 ;+infinie[ par f(x)=x-sinx
a) Démontrer que f est croissante sur [0 ; +infinie[
b) Calculer f(0) et démontrer que pour tout réel x supérieur ou égal à 0 ,
sin x inférieur ou égal x
Voici mes réponses :

On sait que pour tout réel x, on a : -1 inférieur ou égal à cos(x) inférieur ou = à 1
donc f'(x) = 1-cos(x) >= 1 - 1 >= 0
donc f est croissante sur [0;+\infini[.

De plus : f(0) = 0

Donc finalement on a :
pour tout x >= 0, f(x) = x-sin(x) >= 0
donc x >= sin(x)

Mais voici mon problème :

2. g est la fonction définie sur R+ par : g(x)= 1-(x²/2)-cos x
a) démontrer que g est décroissante sur R+
b) Calculer g(0) et montrer que pour tout réel x >= 0 , 1- (x ²/2) est infèrieur ou égale à cos x.

Voilà ce que j'ai trouvé :

g'(x)= (-2x/2) + sin x
= - x + sin x

Or on sait que pour tout réel x, on a : -1= x - 1

Mais après je suis bloquée !!!!
Comment faire ? J'éspère que quelqu'un pourra m'aider

[Iroh]

Bonjour,

Les deux exercices sont en fait similaires.

Pour la question 1.b), vous devez bien montrer que pour tout : . Pour le montrer, vous savez par 1.a) que la fonction f est croissante sur .

L'unique racine de f est x=0. Ce qui veut dire qu'à partir de ce point, la fonction ne sera plus que positive (ou null) puisqu'elle est croissante (non strictement).

Pour l'exercice 2., vous avez bien caculez g'(x), il faut juste remarquer que g'(x) = -f(x).
g'(x) est donc décroissante. La racine de g(x) est la même que f(x) qui est x=0, par le même raisonnement que pour l'exercice 1., on peut dire que g'(x) est négative et donc que g(x) est elle aussi décroissante.

À nouveau, vous calculez la racine de g(x), trouvez que le seul point qui convient est x=0, par la décroissante de g vous pouvez conclure.