[Trigo 1ereS] sinus en fonction des cosinus dans un triangle

[Anonyme]

Salut à tous !
J'aurais besoin d'un peu d'aide ! Je doit prouver ceci :

Dans tout triangle ABC :

sin²A + sin²B + sin²C = 2 + 2cosA.cosB.cosC

( Je ne savait pas comment mettre les ^ sur les angles, mais les lettres A B et C désignent les angles du triangle en A; B et C :) ).

[bdupont]

Salut Doudou,

Pour démarrer utilise la donnée essentielle : A,B et C sont liés puisque les points forment un triangle.
C a donc pour mesure pi - (A+B) et sinC = sin(A+B) et cosC=-cos(A+B)

Il te reste à développer tout ça...

[Anonyme]

Salut à toi bdupont et merci de prendre un peu de temps pour analyser mon cas ;)

J'avais fait cette constatation mais je ne vois pas trop comment ça peut m'aider, j'ai remplacé cos C et sin C dans chacun des membres tour à tour mais je ne voit pas comment je peut faire ensuite, faut-il que je cherche à réduire en retrouvant une équation d'addition, de soustraction ou de duplication, ou au contraire dévelloper?

[fonfon]

Salut, mq sin²A + sin²B + sin²C = 2 + 2cosA.cosB.cosC

sin²A+sin²B+sin²C=1-cos²A+1-cos²B+1-cos²C=3-(cos²A+cos²B+cos²C)

calculons cos²A+cos²B+cos²C, ds un triangle la somme des angles =pi donc A+B+C=pi donc A=pi-(B+C)

cosA=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)
d'où cosA²=cos²Bcos²C+(1-cos²B)(1-cos²C)-2sinBsinCcosBcosC

cos²A=1-cos²B-cos²C+2cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)

or cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)
et B+C=pi-A
donc cos(B+C)=cos(pi-A)=-cosA

donc cosA²=1-cos²b-cos²C-2cosAcosBcosC
et finallement en transposant cos²B et cos²C ds le 1er membre on a bien:

cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC

on remplace ds
sin²A+sin²B+sin²C=1-cos²A+1-cos²B+1-cos²C=3-(cos²A+cos²B+cos²C)

soit sin²A+sin²B+sin²C=3-(1-2cosAcosBcosC)=2+2cosAcosBcosC

il y a peut-être plus simple
A+

[Anonyme]

Merci beaucoup fonfon j'ai réussi grâce à toi :)