Produit scalaire

[maxoudu94]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide à propos d'un exrcice dont voici l'énoncé :

(Les égalités ne portent que sur des produits scalaires)

Soient A,B et C trois points non alignés de l'espace.
1) Démontrer que pour tout point M de l'espace :
MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0

2) On cosidère l'ensemble T des points M de l'espace tel que :
MA.BC = MB.CA = MC.AB
a) Démontrer que si M appartient à T, alors MA.BC = MB.CA = MC.AB = 0
Jusqu'à la, c'est bon.

b) Déterminer l'ensemble T.
La je trouve que c'est l'orthocentre grace à la question a), mais comme on est dans l'espace, je ne sais pas si l'égalité me permet directement d'en d'éduire des hauteur du triangle ABC.

En vous remerciant...

[rene38]

Bonjour
Peux-tu préciser quel est l'ensemble des points M de l'espace tels que ?

[maxoudu94]

M décrit la hauteur du triangle ABC issue de A

[rene38]

M décrit la hauteur du triangle ABC issue de A

Attention : on est dans l'espace ! signifie que les 2 vecteurs sont orthogonaux donc les droites (MA) et (BC) sont orthogonales mais pas forcément perpendiculaires.
Par exemple dans un cube ABCDEFGH, mais (AB) et (FG) sont orthogonales mais pas perpendiculaires : elles n'ont aucun point commun. (facile sur un dessin)

[maxoudu94]

Alors je ne vois pas comment répondre rigoureusement à cette question, pouvez-vous m'aider?

[chan79]

1) Démontrer que pour tout point M de l'espace :
MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0

salut
je chercherais à isoler M avec la relation de Chasles

[maxoudu94]

En fait, j'ai tout fait jusqu'à la 2b), c'est la ou j'ai besoin d'aide.

[maxoudu94]

S'il vous plait.

[chan79]

M appartient au plan P1 orthogonal à (BC) qui passe par A.
M appartient au plan P2 orthogonal à (AB) qui passe par C.
M appartient au plan P3 orthogonal à (AC) qui passe par B.
Ces plans contient l'orthocentre H du triangle ABC.
L'intersection de P1 et P2 est une droite d
L'intersection de d et P3 est un point (H)