Equadiff [TS]

[lalane]

Bonsoir, j'ai un exercice de bac sur les équations différentielles à faire, et je bloque complètement dessus, je pensais pourtant avoir compris ce chapitre. Pourriez vous m'éclairer sur les questions qui me bloquent s'il vous plait ?

1)Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant :
La fonction x->exp(x) est l'unique fonction phi dérivable dur R telles que phi'=phi, et phi(0)=1.
Soit a un réel donné.

a) Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = exp(ax) est solution de l'équation y'=ay.
->j'ai dérivé f(x) et j'obtiens f'(x) = af(x) puis je conclure que f(x) est solution de y'=ay ?

b) Soit g une solution de l'équation y'=ay. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = g(x)exp(-ax). Montrer que h est une fonction constante.
-> je ne vois pas comment faire

c)En déduire l'ensemble des solution de l'équation y'=ay.
-> ici non plus du coup

2)On considère l'équadiff (E) : y' = 2z + cosx.

a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f0 définie sur R par f0(x) = acosx + bsinx soit une solution f0 de (E).
-> je me suis embrouillée dans mes calculs je n'arrive pas à trouver a et b.

b) Résoudre l'équadiff (E0) : y'=2y
-> je trouve : Cexp(2x)

c)Démontrer que f est solution de (E) ssi f-f0 est solution de (E0).
-> étant donné que je n'ai pas f0(x) je ne peux pas le faire

d)En déduire les solutions de (E).
-> de même

e) Déterminer la solution k de (E) vérifiant k(pi2)=0.
-> même si je ne peux pas le faire je ne vois pas comment traiter cette question.


Merci pour votre aide...

[XENSECP]

en clair c'est quoi ton souci ?

[lalane]

et bien je bloque sur beaucoup de questions dans cet exercice

[XENSECP]

en quoi pourrait-on t'aider ? les premières questions sont simples ;)

[lalane]

je sais bien, j'aimerais juste quelques indications pour que je puisse avancer dans l'exercice s'il vous plait.

[PONFIA]

Bonsoir. Quelques indications

1b) pour montrer que est constante, il te suffit juste de montrer que sa dérivée est nulle.

1c) D'après la question précédente, on a pour tout . Or tu sais par hypothèse que est une solution de l'équation différentielle ...........................

[PONFIA]

(Re)bonsoir.

2a) solution de

Continues par équivalence .......

[lalane]

Bonsoir, je commence par la 1/b) :
h(x)=g(x)exp(-ax)
g(x) est solution de y'=ay donc g'(x)=ag(x)
h'(x)=ag(x)*-aexp(-ax)

Et à partir d'ici je ne vois pas comment simplifier

[lalane]

Pour la question c, je comprend le raisonnement, mais faut il ajouter f(x) et g(x) pour obtenir l'ensemble des solutions ?

[lalane]

pour la 2)a) j'arrive à f'0(x) = 2f0(x) + cos x
<=> -asinx+bcosx = 2acosx + 2bsinx) + cosx
<=> -asinx + 2bsinx + cosx + asinx - bcosx = 0
ici, je suppose qu'il faut factoriser, mais je ne sais plus s'il faut factoriser par cos x et sinx ou par a et b. Car dans les deux cas, je n'arrive pas à établir le sustème permettant d'obtenir a et b.

[PONFIA]

Bonsoir.

pour le 1b) tu as pour tout :


D'après toi comment arrives tu à conclure que ? Quel es ton hypothèse ?

1c) cherche encore, c'est très simple. Tu complique les choses pour rien. Suis mes indications et tu arriveras

[lalane]

Pour la b) c'est bon, j'ai trouvé, on sait que g est solution de y'=ay.
Or y'-ay=0 donc g'(x)-ag(x)=0
Donc h(x) = 0 : c'est une fonction constante.

Pour la c), je cherche, je dois utiliser que h(x) et g(x) pour trouver c'est cela ?

[PONFIA]

d'après la question 1b) et constante sur , donc il existe une constante réelle telle que pour tout tu as : . En sortant de cette expression, qu' obtiens-tu ? Que sait tu sur ?

[lalane]

lorsque l'on sort g(x), on obtient g(x)=Cexp(ax)
g est solution de y'=ay.
y'=ay a pour solution une fonction telle que i(x)=Cexp(ax)
l'ensemble des solution de y'=ay serait donc g(x) ?

[PONFIA]

Euhhh presque ça ... il faut juste conclure que l'ensemble des solutions de l'équa diff est l'ensemble des fonctions de la forme où est une constante arbiraire

[lalane]

d'accord, merci pour cette question.
Par contre, ai je fait une erreur de calculs à la 2)a ?

[PONFIA]

Reprend ta deuxième équivalence, il y a des erreurs

[lalane]

f'0(x) = 2f0(x) + cos x
<=> -asinx + bcosx = 2acosx + 2bsinx + cosx
<=> 2acosx + 2bsinx + cosx + asinx - bcosx = 0

[PONFIA]

ouai pour l'instant c'est bon

[lalane]

si on factorise, on obtient : cosx(2a+1-b) + sinx(2b+a) = 0
on obtient comme système :
2a+1-b = cosx
2b+a = sinx
?