TS : équadiff

[lalane]

Bonsoir, j'ai un exercice à faire et je bloque dessus...

Soit l'équation différentielle (E) :
y'+y = 2(x+1)e^-x

1) Montrer que la fonction f0 définie sur R par f0(x) = (x²+2x)e^-x est une solution de l'équation (E).
-> ici c'est bon.

2) Résoudre l'équadiff (E') : y'+y=0
-> on a juste à dire que la solution est f(x) = Ce^-x ?

3) Soit u une solution de (E'). Montrer que la fonction f0 + u est une solution de (E).
On admettra que, réciproquement, toute solution f de (E) est de la forme f=f0+u où u est une solution de (E').
En déduire, pour x appartenant à R, l'expression de f(x) lorsque f est solution de (E)
-> j'ai déjà du mal à copmprendre le sens des phrases...

Merci d'avance (l'exercice n'est pas fini mais je met que cela en attendant).

[le_fabien]

salut,
pour 1) et 2) c'est bon.
pour la 3) il suffit d'exprimer (fo+u)'+(fo+u)=.... et tu verras

[lalane]

est ce que pour cela "Soit u une solution de (E'). Montrer que la fonction f0 + u est une solution de (E)."

on peut faire :
u solution de (E') : u'+u = fo'(x) + f0(x) ?

[le_fabien]

non u solution de E' veut dire: u'+u=0
et (fo+u)'+(fo+u)=f'o+u'+fo+u=u'+u+f'o+fo=f'o+fo=...

[lalane]

donc f'o + fo = 2(x+1)e^-x = (E)
donc fo + u est solution de E
C'est ca ?

[lalane]

Et pour le reste de la question 3,
f=f0+u
donc f(x) = f0(x) + Ce^-x (trouvé dans la question 2)
f(x) = (x²+2x)e^-x + Ce^-x ?

[le_fabien]

exact c'est juste.

[lalane]

d'accord, merci pouvez vous m'aider pour la suite de l'exercice ?

[le_fabien]

donne toujours on verra..

[lalane]

Je commence petit à petit alors :

Soit f la fonction numérique définie sur R particulièrementf(x) = (x²+2x+2)e^-x

1)Déterminer les limites de f en +infini et en -infini
-> cela fait des formes indéterminées et je n'arrive jamais à trouver comment m'en séparer...

2)On sait que f est dérivable sur R : déterminer sa fonction dérivée et étudier son signe. Donner le tableau de variation de f.
-> f'(x) = (2x+2)e^-x + (x²+2x+2)-e^-x ?

[le_fabien]

la limite en -inf n'est pas un probleme car e^-x tend vers +inf et x²+2x+2 tend vers +inf aussi
mais la difficulté est la limite en +inf:
il faut utiliser le fait que lim+inf xe^-x=0 (vu dans le cours)

[lalane]

ha je croyais que lim en -inf de x²+2x+2 tendait vers -inf.
et pour lim en +inf de xe^-x=0, on l'utilise comment vu que l'on a pas cette forme dans l'expression de la fonction

[le_fabien]

mais si...
f(x)=x²e^-x+2xe^-x+e^-x et d'apres le cours ces trois termes tendent vers 0 quand x tend vers +inf (cf cours )

[lalane]

ha ok, fallait juste développer... merci.
Est ce que ma dérivée est bonne ? on obtient que f'(x) = -e^-x * x² ?
si oui alors le signe de f'(x) est négatif et donc la fonction est décroissante avec comme image en -inf : +inf et en +inf : 0 ?

[le_fabien]

pour moi c'est bon

[lalane]

ok merci la dernière question :
Dans un repère orthonormal (O;i;j), unité graphique 2cm, on note C' la représentation graphique de f.

Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à C' au point d'abscisse -1
-> je trouve y = -e * (x+1) + e (en utilisant y = f'(a)(x-a) + f(a))
le résultat me parait étrange avec des exponentielles non ?

[le_fabien]

pour moi c'est juste aussi

[lalane]

et bien merci beaucoup pour votre aide, à bientot.