TS : équadiff

[lalane]

Bonjour, j'ai un exercice de mathématiques à faire et je bloque sur la fin. Pourriez vous m'aider en essayant de m'indiquer comment commencer svp ?

"Un problème de refroidissement"

La situation étudiée : Le système de refroidissement d'une machine est constitué d'un circuit contenant 20 litres d'eau. Dès que l'eau atteint une température de 80°c, le circuit est rafraîchi par un courant d'eau froide à 16°c : il entre très rapidement autant d'eau qu'il en sort à raison de 2 litres d'eau par seconde. L'eau entre à vitesse constante par de nombreux points ce qui permet de considérer que la température reste constamment homogène.

A/ Calcul préliminaire
On admet que la température du mélange est la moyenne des 2 températures, pondérées par les volumes correspondants.

Si on mélange de façon homogène un litre d'eau à 16°c et un litre d'eau à 80°c, quelle sera la température du mélange ?
-> je trouve 48°c

Et si on mélange 2 litres d'eau à 16°c avec 18 litres d'eau à 80°c ?
-> je trouve ici 73.6°c

B/ Modélisation par une suite
On note To=80 la température du circuit lorsque se déclenche le refroidissement et Tn la température n seconde après, exprimée en degrès Celsius (n appartenant à N).

1) Montrer que Tn+1 = (16+9Tn)/10
-> ici c'est bon

2) Soit u la suite défini par un=Tn-16 pour tout n >ou égal à 0.
Montrer que (un) est une suite géométrique
-> je trouve que un+1 = 9/10un donc elle est géométrique de raison q=9/10

En déduire l'expression de un puis de Tn en fonction de n.
-> un = (9/10)^n * 64(=u0)
-> comme un=Tn-16, Tn=un+16 donc Tn = (9/10)^n * 64 + 16

3) quand l'eau atteindra t-elle une température de 30°c ?
-> je bloque à partir d'ici en fait.


C/ Modélisation par une fonction

On note t le temps écoulé depuis que le refroidissement a été déclanché, et T(t) la température à l'instant t, t étant exprimé en secondes et T(t) en degrès celcius.

1)Quelle quantité d'eau rentre en Delta t secondes ? Je noterai delta t comme ceci : Dt.

Montrer que T(t+Dt)= ((20-2Dt)*T(t) + 2*Dt*16)/20
puis que (T(t+Dt)-T(t))/Dt = -(T(t)-16)/10


2)En déduire que T'(t) = -(T(t)-16)/10 puis que la fonction « fi » qui à t associe T(t)-16 est solution de l'équation différentielle y' = -0,1y

3)Déterminer fi(t) puis T(t) en fonction de t.

4)Quand l'eau atteindra-elle une température de 30°c?

Merci pour votre aide.