Système Linéaire

par **ice456** » 03 Avr 2008, 19:26

Bonsoir,

j'ai un problème concernant l'unicité d'une solution d'un système linéaire.

Voici le contexte :

on veut approximer au mieux une fonction. Pour celà, un théorème de Chebychev le meilleur approximant de f de la façon suivante :

Un polynome p*

est le meilleur approximant de f sur [a,b]
ssi il exite n+2 points

tels que

i = 0,...,n+1

avec |E| =

.

On a donc que lerreur maximale commise en remplaçant f par p* est atteinte en n + 2 points de manière oscillante.

L'idée pour trouver p* est la suivante :

si les n+2 points

était connus, il suffirait de résoudre le système linéaire de n+2 équations

p*(

)+

E = f(

), 0

i

n+1,

pour trouver p* et E.

Voilà le contexte.
Voici ma question : il faut montrer que sous l'hypothèse que n+1 des n+2 points

sont distincts, le système linéaire possède une et une seule solution (p*,E)

x

.

Je ne vois pas trop comment me lancer dans cette démo.
Pourriez-vous m'aider à prouver d'une part
-l'existance de la solution
-l'unicité

Pour info, il nous a été recommandé d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Merci d'avance pour vos idées.

par **alavacommejetepousse** » 03 Avr 2008, 21:22

bonsoir

je ne saisis pas

les n+2 xi sont distincts par hypothèse initiale
pourquoi n 'en supposer uniquement que n+1 distincts

avec n+2 il n 'y a aucun problème

par **ice456** » 03 Avr 2008, 23:41

Au départ l'énoncé nous a été donné avec une hypothèse n+2 distincts mais a été modifié comme tel.

Pourrais-tu m'expliquer alors sous l'hypothèse "n+2 distincts"?

Merci beaucoup

par **alavacommejetepousse** » 04 Avr 2008, 00:19

c 'est un système linéaire de n+2 équations n+2 inconnues

il admet une solution unique ssi la matrice du système est inversible donc ssi elle est injective (en identifiant matrice et endo) donc ssi quand f = 0 il y a une unique sol qui est p* = 0 et E = 0

or dans ce cas
si E était non nulle il yaurait changement de signe de p* à chaque xi donc d 'après le tvi il y aurait au moins n+1 points distincts où p* s annulerait ce qui imposerait p* = 0 grâce au degré et donc E = 0 absurde

donc E = 0 et p* = 0 et unicité

par **alavacommejetepousse** » 04 Avr 2008, 07:46

n+1 points distincts suffisent car il y aurait n changements de signe entre les xi et encore un dernier entre -infini etx0 ou x(n) et + infini selon les cas

donc toujours n+1 racines distinctes de p*

par **ice456** » 04 Avr 2008, 20:16

J'avoue que j'ai un peu de mal...

Je voudrais être sur de bien perçevoir déjà le système linéaire...

Le E est équilavent pour chaque équation?

On a p* qui est de la forme p* =

Les inconnues dans le système ici sont bien les

?

J'ai du mal a voir aussi comment on pourrais trouver E avec toute ces équations...

Je ne sais pas si ce sont les notations prises qui me pertubent mais j'ai du mal à m'y retrouver avec ce système

Je m'attasuerais ensuite à la solution proposé mais je veux être sur de bien comprendre tout avant.

Merci pour votre aide

par **alavacommejetepousse** » 04 Avr 2008, 21:42

les inconnues sont bien les a0 ,...,an ET E

donc n+2 inconnues réelles

par **ice456** » 06 Avr 2008, 01:34

Le système sous forme matricielle est donc :

=

C'est correct?

Q'entends-tu par "en identifiant matrice et endo"?

Merci pour ton aide

par **ice456** » 06 Avr 2008, 10:49

Le système sous forme matricielle est donc :

=

C'est correct?

Q'entends-tu par "en identifiant matrice et endo"?

Merci pour ton aide

par **ice456** » 06 Avr 2008, 13:33

Le système sous forme matricielle est donc :

=

C'est correct?

Q'entends-tu par "en identifiant matrice et endo"?

Merci pour l'aide apportée

par **ice456** » 06 Avr 2008, 19:30

Le système sous forme matricielle est donc :

=

Est-ce que quelqu'un pourrait-il me confirmer si j'ai bon ou pas?

Q'entends-tu par "en identifiant matrice et endo"?

Merci pour l'aide apportée

par **ice456** » 06 Avr 2008, 21:03

alavacommejetepousse a écrit:c 'est un système linéaire de n+2 équations n+2 inconnues

il admet une solution unique ssi la matrice du système est inversible donc ssi elle est injective (en identifiant matrice et endo) donc ssi quand f = 0 il y a une unique sol qui est p* = 0 et E = 0

or dans ce cas
si E était non nulle il yaurait changement de signe de p* à chaque xi donc d 'après le tvi il y aurait au moins n+1 points distincts où p* s annulerait ce qui imposerait p* = 0 grâce au degré et donc E = 0 absurde

donc E = 0 et p* = 0 et unicité

Pourrais-tu explicité un peu plus?

Pour la définition d'injective je vois bien pour une fonction mais pour une matrice? Tu entends quoi en disant "identifiant matrice et endo?

par **x-motard** » 07 Avr 2008, 03:51

Aie aie aie... plus que quelques heures et le rapport doit être rendu

:triste:

:mur:

par **Kubuntu** » 07 Avr 2008, 03:55

Oui, je crois que c'est vers 12H :marteau: mais bon lentement mais surement :we:

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