Variations d'une fonction

[Torrent24]

Bonjour ! Je n'arrive pas à trouver les variations de cette fonction :

e(-x)*(1+x/1! + x²/2! + ... + x^n/n!)

Merci de m'aider svp, ca serai trés sympathique :)

[Noemi]

Calcule la dérivée, simplifie l'expression obtenue, puis étudie les variations.

[Torrent24]

oui mais justement. Je dois développer avant de dériver? Et puis comment faire vu qu'il ne s'agit pas d'une fonction simple? (présence de petits points)

[Noemi]

Non, je développe pas avant de dériver car ensuite, il te faudra factoriser.

[Torrent24]

Je n'y arrive vraiment pas je trouve comme dérivée :

-e(-x)*(1 + x/1! + x²/2! + ... + x^n/n!) + e(-x)*(1 + 4x + n*x^n-1 * n!)

Svp aidez moi

[Noemi]

La dérivée est fausse :
-e(-x)*(1 + x/1! + x²/2! + ... + x^n/n!) + e(-x)*(1 + 2x/2! +......+ n*x^n-1 * n!)

Reste à factoriser et à simplifier.

[Torrent24]

Oh merci c'est vraiment gentil :)

Je factorise par e(-x) c'est bien ça?

Merci encore

[Noemi]

oui factorise e^(-x).

[Torrent24]

olalalalalala ... même ça c'est la cata

[Noemi]

Il faut simplifier la parenthèse : (1 + 2x/2! +3x^2/3!......+ n*x^n-1 * n!)
= (1 + x/1! + x^2/2! ...... + .......)

[Torrent24]

ok merci énormément !

Donc ca donnerai : e(-x)[1+x/1!+x²/2! + ... + x^n/n!]² non?

[Noemi]

Non, le deuxième terme est :
e^(-x)[1+x/1!+x²/2! + ... + x^(n-1)/(n-1)!]
Il reste à factoriser e^(-x)

[Torrent24]

mais l'expression de la dérivée est bien :

-e^(-x)*(1+x/1!+x²/2! + ... + x^n/n!) + e^(-x)µ(1+x/1!+x²/2!+...+x^(n-1)/(n-1)!) ?

Donc pour la factorisation, comment factoriser les 2 derniers termes des 2 membres, cad : x^n/n! et x*n^(n-1)/(n-1)! ?

J'suis dsl jsuis vraiment pas douée en maths :(

[Noemi]

Mets e^(-x) en facteur dans :
-e^(-x)*(1+x/1!+x²/2! + ... + x^n/n!) + e^(-x)*(1+x/1!+x²/2!+...+x^(n-1)/(n-1)!)

Il y a un moins au début donc des termes vont s'éliminer.

[Torrent24]

On obtient alor :

e^(-x) [ x^n/n! - n*x^(n-1)*n!]

[Noemi]

Vérifie ton calcul :
on obtient -e^(-x) [ x^n/n! ]