Matrice symétrique particulière

[gontrand]

Bonjour à tous,

voilà je dois en fait résoudre le problème suivant:

On considère une matrice carrée A de dimension n, telle toutes les entrées sur la diagonale sont égales à un complexe u, tandis que toutes les autres entrées sont égales à un complexe v.

On demande:
a) de donner les valeurs propres de A, au moyen de calculs très simples, sans effectuer de calcul de déterminant;
b)soient lambda_1...lambda_p, les p valeurs propres distinctes de A. Montrer que le produit des (A-lambda_i*I) = 0;
c)A est-elle diagonalisable?

Voilà, je vois pas très bien comment faire, donc merci d'avance pour votre aide.

[Taupin]

Déjà trouve les valeurs propres ;) :zen:

[gontrand]

En fait, je pense que l'élément de la diagonale est la seule valeur propre, mais je sais pas le montrer rigoureusement.
De plus, ça a pas l'air très cohérent avec le point b...

[Taupin]

Hum essaye (u-v) comme valeur propre ;) donne moi la dimension et tu comprendras tout de suite je crois ;)

[gontrand]

Heu oui, j'ai écrit n'importe quoi au-dessus...
Sinon la dimension c'est n en général.
En fait, je crois que a-b est valeur propre de multiplicité n-1, et que la nième valeur propre c'est a+(n-1)*b.
Mais je l'ai trouvé numériquement donc j'ai pas de preuve...

[Taupin]

Hum tu dis que la matrice A-(u-v)In est de rang 1 donc (u-v) est valeur propre (n-1)ème et tu conclus avec la trace pour trouver la deuxième (et dernière) valeur propre ;)

[gontrand]

Ok, merci beaucoup.

Une idée pour la diagonalisation ou pas (sans vouloir abuser ;)?
Je pense que ce n'est pas diagonalisable parce que une valeur propre peut être nulle mais je ne sais pas si ça suffit comme argument...

[kazeriahm]

et alors une matrice peut etre diagonalisable et avoir une (plusieurs) valeur(s) propre(s) nulle(s), par exemple la matrice nulle

relis l'énoncé de la question b : que peux-tu dire du polynome ?

(c'est quoi le Pi du produit en latex ??)

[Taupin]

Hum je dirais que c'est diagonalisable moi, cherche un vecteur propre associé à la deuxième vp ;)

[gontrand]

Heu là, franchement, je vois pas très bien...

[fatal_error]

(pour le produit en latex, c'est \prod : )

[kazeriahm]

le polynome dont je te parlais est scindé et à racines simples sur R (les lambda_k sont distincts) et annule ta matrice. Ca te donne pas une idée ?

[gontrand]

Heu non, je vois pas ce que ça veut dire un polynome qui annule une matrice, ce serait cool que tu m'expliques pq je suis un peu bloqué ;)

Sinon j'ai encore une question :)

Je dois montrer que pour tout k, A^k= alpha_k*A + beta_k*I,

j'ai commencé par essayer de traiter le cas hors diagonale, pour simplement corriger le terme diagonal avec beta_k*I, mais je ne vois pas de relation...
Si quelqu'un a une idée...