Algèbre linéaire

[jojofroi]

Bonjour,

j'ai un problème avec un exercice d'algèbre, voilà l'énoncé :

Soit (e1,e2,e3) une base de E espace vectoriel sur K et
On suppose que f(e1)=0, f(e1+e2)=e2, et f(e3)=e1+e3.

je dois déterminer f(e1),f(e2) et f(e3) et expliciter ker(f) et im(f) ainsi que leur dimension.

J'aurais besoin d'un petit coup de main pour déterminer f(e1),f(e2) et f(e3).
Merci

[detracusse]

bonjour, ton problème n'est pas très difficile, puisque f appartient à L(E), f est linéaire et donc f(e1+e2) =f(e1) +f(e2). Imf est engendré par l'image des vecteurs de la base de départ, et x appartient à kerf <=> f(x)=0 et remarque que tu peux écrire x=a1*e1+a2*e2+a3*e3, et tu trouves a1, a2, a3 en résolvant f(x)=0, et tu auras ainsi tous les x qui appartiennent à kerf

voilà.

[jojofroi]

Merci pour ton aide.
J'obtiens donc f(e1)=0, f(e2)=e2, et f(e3)=e1+e3.
Pour kerf j'ai trouvé l'ensemble des x appartenent à E et a1 appartenant à K tel
que f(x) = a1.e1 , et dim(kerf) = 1.
Mais pour Imf je bloque un peu, je cherche y appartenant à imf ssi il existe x appartenant a E tel que f(x) = y , avec y appartenant à E.
Je trouve a2.e2+a3.(e1+e3) = y.
Je sais pas si cela est bon mais je serais tenter de dire que Imf est l'ensemble des x=a1.e1+a2.e2+a3.e3 appartenent a E tel que a1=a3, et dim(Imf) = 2.