Bijectivité

[TheSnake]

Bonjour à tous !
Voilà je cherche à démontrer les ensembles N et N² sont en bijection...

N'ayant aucune indication j'ai chercher un peu et j'ai trouver qu'il suffisait de trouver une fonction bijective de N sur N² ou inversement...
J'ai trouver une fonction sur internet (je me demande d'ailleurs comment j'aurai pu la trouvé tout seul), je n'arrive cependant pas à montrer qu'elle est bijective ! Comment procéder ?
Voici la fonction que j'ai trouver :

f(x,y) = x + [(x+y)(x+y+1)/2]

Si vous pensez qu'il y a mieux comme fonction, je ne dis pas non :)

Merci d'avance pour votre aide !

[bruce.ml]

Salut,

c'est fonction est assez visuelle, quand tu dessines N² sur une feuille, tu verras pourquoi c'est cette fonction qui a été choisie. Néanmoins j'en ai une autre plus simple :
Qui est beaucoup plus simplement bijective

[arnaud26]

Tu n'as qu'à utiliser la méthode de diagonalisation de Cantor qui sert à montrer que l'ensemble des nombres rationnels sont dénombrables. Cette démonstration montre en fait que NxN est en bijection avec N.

[TheSnake]

Je suis désolé mais j'ai un peu du mal avec ces notions de bijectivité, et même avec ces fonctions à deux variables...
Ca va vous paraitre bête mais comment représenter une telle fonction ?

Prenons x=1 et y=0 :
F(1,0) = 1

Que représente graphiquement ce 1 :hum: ?

Edit : Je ne trouve pas grand chose sur cantor et sa diagonalisation...

[TheSnake]

Puis-je faire par exemple :
F(x,y) = F(x',y')
Puis poser x' = ax et y'=by comme ils sont différents, et montrer par identification que a=b=1 ?

[Joker62]

En fait, comme dit précédemment, en dessinant N², on s'aperçoit qu'on peut compter facilement les éléments...

On dit que l'origine, c'est le numéro 0
le point du plan (1,0) c'est le numéro 1
le point (0,1), le numéro 2
le point (2,0), le numéro 3
le point (1,1), le numéro 4
le point (2,0), le numéro 5
etc...

En regardant comment j'ai compter les points, tu t'aperçois que je les comptes en diagonale.

Donc en fait, ta fonction à deux variables, ça représente juste le numéro du point.

Par exemple le numéro du point de coordonnée (1,1) vaut f(1,1) = 4
Comme dit plus haut...

Pourquoi c'est la fonction là ? parce que ça marche :)