Suites et Cosinus

[Lenzos77]

Salut voila j'ai un souci vous vous en doutez :happy2:
Dans mon Exercice on a une suite definie par U0=0 et pour tout entier naturel n Un+1= (Racine2/2)(racine(1+Un))

Dans le premièrement il faut demontrer par recurrence que pour tout entier n sup ou égal à 1, racine2/2 inf ou egal à Un inf ou égal à 1 et que Un est croissante. Jusque la tout va bien j'ai reussi :id:
Le b) de ce 1. et le suivant : En deduire que la suite u converge et determiner sa limite en a => j'ai legerement bloquer sur cette question mais si vous avez des idée je prend :we:

C'est dans le deuxièmement que cela ce complique :

=> Il faut demontrer que racine((1+cosx)/2) = cos(x/2) et c'est la que sa bloque si quelqu'un pouvait m'aider ce serait pas mal parce que la je bloque à fond je n'ai strictement aucune idée pour résoudre ceci. Merci D'avance.

[lapras]

salut
remarque que
cos(x) = cos(2* (x/2) ) = 2cos(x/2)² - 1 :happy2:

[Lenzos77]

Merci j'ai donc reussi a faire cette question comme jm'en doutais maintenant que je sais comment faire sa me saute aux yeux lol mais après cela j'ai donc demontrer par recurrence que Un = cos (pi/2^(n+1)) et la derniere question est : retrouver ainsi la limlite a de la suite U (question equivalente a la 1b.) mais je n'arrive pas à appliquer mon cours pour faire cela est ce que l'on pourrait m'expliquer comment faire cela merci d'avance.

[lapras]

A quoi est égal :
sqrt(1 + cos(pi/2^(n+1))) ?

remarque que
sqrt( 1 + cos(pi/2^(n+1)) ) = sqrt( (1+cos(pi/2^(n+1)))/2 )*sqrt(2)
déduis en Un+1 = (sqrt(2)*sqrt(2))/2 * cos(pi/2^(n+2)) = cos(pi/2^(n+2))

:++:

[Lenzos77]

Enoncé : U est la suite définie par Uo = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1=(V2/2)*V(1+Un)

On ce propose d'étudier cette suite de deux façons differentes.
1.a) Démontrer par récurrence, que :
- pour tout entier n>ou=1, V2/2<ou=Un<ou=1;
- le suite U est croissante.
b) En déduire que la suite U converge et déterminer sa limite en a.

2.a) Démontrer que pour tout réel x de [0;pi] :
V(1+cosx)/V2=cos(x/2).
b) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, Un= cos(pi/2^(n+1)).
c) Retrouver ainsi la limite a de la suite u.

Voila l'énoncer alors j'ai reussi toutes les question sauf la 1.b) et la 2.c) toujours pour la limite je n'arrive pas a voir comment il faut s'y prendre j'ai bien l'intervalle et tou les termes sont bien compris dedans mais après je ne vois pas comment justifier et trouver cette limite ?