Arithmétique

par **marjie** » 01 Nov 2007, 17:05

Bonjour,

J'ai deux exos à faire en devoir maison de spé

Exo 1

On note a=3^36-1, b=3^24-1, c=3^12-1
1) Démontrer que si d est un diviseur commun à a/c et b/c alors d divise 3^24
J'ai trouvé que 3^24=d(k-k') Donc d est un diviseur de 3^24

2) En déduire que pgcd (a/c,b/c)=1
Et la je suis incapable de le prouver

Exo 2

n est un entier relatif

1) Développer (n-2)^4
(n-2)^4= n^4-8n^3+24n^2-32n+16

2) En déduire que (n-2)^4 congru n^4+n^3+n+1(3)
j'ai trouvé

3) En utilisant les différents restes possibles de la division d'un entier par 3, démontrer que dire que l'entier n est divisible par 3 équivaut à dire que n^4 est divisible par 3
Déterminer les entiers n tels que n^4+n^3+n+1 soit divisible par 3

Merci de m'aider :cry: :stupid_in

par **marjie** » 01 Nov 2007, 17:43

A l'aide :stupid_in

par **J-R** » 01 Nov 2007, 18:48

bonsoir,

a/c et b/c

tu parles de la fraction ? qui te dity qu'elle est entière ?

exo 2 :

les restes possibles sont 0;1 ou 2.

donc

donc les entiers vérifiant les conditions s'écrivent sous la forme n=3k+2 (k relatif)

par **marjie** » 02 Nov 2007, 07:43

je ne comprends pas où tu veux en venir pour la fraction

par **Quidam** » 02 Nov 2007, 08:47

J-R a écrit:tu parles de la fraction ? qui te dity qu'elle est entière ?

Une identité remarquable !

Donc :

est bien entier ! Même chose pour b/c !

par **Quidam** » 02 Nov 2007, 08:50

marjie a écrit:Exo 1
2) En déduire que pgcd (a/c,b/c)=1
Et la je suis incapable de le prouver

Tu as montré que tout diviseur commun à a/c et à b/c divise

Et quels sont les diviseurs de

? Lesquels d'entre eux divisent a/c ?

par **marjie** » 02 Nov 2007, 08:55

j'ai trouvé b/c = 3^12+1 et avec un système avec a/c
3^24= d (k-k') donc d divise 3^24

mais comment continuer

par **Quidam** » 02 Nov 2007, 09:03

marjie a écrit:je ne comprends pas comment demarrer

Si la décomposition en produit de facteurs premiers de n est :

, par exemple, alors les diviseurs de n sont les nombres

avec a,b,c entiers vérifiant :

Quels sont alors les diviseurs de

?

par **marjie** » 02 Nov 2007, 18:23

il n'y a pas une autre solution sans utiliser les nombres premiers car on n'a pas encore vu cette notion dans notre cours

par **marjie** » 03 Nov 2007, 08:41

marjie a écrit:il n'y a pas une autre solution sans utiliser les nombres premiers car on n'a pas encore vu cette notion dans notre cours

merci d'essayer de m'aider je bloque vraiment

par **chan79** » 03 Nov 2007, 09:16

Quidam a écrit:Une identité remarquable !

Donc :
est bien entier ! Même chose pour b/c !

Bonjour
D'accord avec ce calcul
a/c et b/c sont entiers
si d divise 3^24+3^12+1 et aussi 3^12+1 alors il divise leur différence 3^24
d est de la forme 3^k
comme d divise 3^12+1, 3^k=m*(3^12+1) donc k=0 (à détailler)

d=1
le PGCD cherché est 1

par **marjie** » 03 Nov 2007, 09:26

merci de ton aide je viens de comprendre peux tu m'aider à résoudre la fin de cet exo

n est un entier relatif

1) Développer (n-2)^4
(n-2)^4= n^4-8n^3+24n^2-32n+16

2) En déduire que (n-2)^4 congru n^4+n^3+n+1(3)
j'ai trouvé

3) En utilisant les différents restes possibles de la division d'un entier par 3, démontrer que dire que l'entier n est divisible par 3 équivaut à dire que n^4 est divisible par 3
Déterminer les entiers n tels que n^4+n^3+n+1 soit divisible par 3

par **chan79** » 03 Nov 2007, 10:51

calculer n^4 lorsque
1°) n=3k
2°) n=3k+1
3°) n=3k+2
tu verras dans quel cas n^4 est divisible par 3

n^4+n^3+n+1 divisible par 3 si (n-2)^4=0 (3) soit ...

par **marjie** » 03 Nov 2007, 15:32

merci de m'avoir aidée j'ai compris

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