Récurrence suite

[cuicui62]

Bonjour à tous, j'aurai besoin de votre aide
Soit (Un) la suite définie par U0=1 et pour tout n appartenant à N :
Un+1= (3+2Un)/(2+Un)
J'ai démontré par récurrence que pour tout entier > ou égal à 2, on a Un supérieure ou égale a 3/2.
Je dois maintenant montrer que la suite est majorée par racine de 3 mais je ne sais pas comment démarrer en essayant par récurrence...

[Nightmare]

Bonjour,

ben une récurrence non?

[cuicui62]

Et bien j'ai Un

[cuicui62]

Personne n'a d'idée ?

[Nightmare]

On considère la fonction

Si on dérive et qu'on étudie le signe, on voit qu'elle est croissante sur

On en déduit que si alors

un petit calcul rapide nous donne que .

Appliquons cela à notre suite :

On sait que notre suite est positive. En ajoutant l'hypothèse de récurrence :

En appliquant f :

ie :

CQFD.

[cuicui62]

merci beaucoup !!!
Je dois maintenant étudier son sens de variation, c'est possible par la récurrence parce que je n'arrive pas avec Un+1- Un ??

[Nightmare]

Or, donc
et on en déduit que
et de plus comme 2+U(n) est positif, le quotient est positif donc la suite est croissante.

[cuicui62]

mais moi je ne sais pas que Un est supérieure ou égale à 0

[cuicui62]

ah si je peux le montrer désolée...

[Nightmare]

Ben si tu le sais, tu as démontré que Un était supérieure à 3/2 donc en particulier elle est supérieure à 0 !

[cuicui62]

oui mais j'ai montré qu'elle était supérieure à 3/2 seulement à partir de n=2

[cuicui62]

j'ai maintenant une suite (Vn) définie par Vn= (Un-racine de 3)/(Un+racine de 3)
je dois montrer que cette suite est géométrique mais je ne connais pas Un, je ne sais pas comment faire quelqu'un peut-il m'aider ?

[Nightmare]

Calcule V(n+1)/V(n) tu verras que les Un se simplifient.

[cuicui62]

je crois que je simplifie mal j'ai un grand calcul à la fin.... :triste:

[cuicui62]

tu es sur que ca se simplifie facilement ?