J'éprouve une difficulté particulière à terminer mon exo, du coup je fais appelle à vous, mon exercice est le suivant:
Soit (Un) la suite réelle définie par U0=0 et par la relation de récurrence U(n+1)=Racine de:(Un+12); pour tout n appartenant à N:
1) Calculez Un pour 1< n <5(donnez les résultats à 10^-5 près par défaut)
Là, a priori pas de soucis je trouve:
U1=3,46410
U2=3,93244
U3=3,99155
U4=3,99894
U5=3,99987
2)Démontrez que, pour tout n appartenant à N, on a Un<4
Ici a priori c'est toujours bon, je trouve:
En gros: initialisation: si n=0, Uo=0<4
si n=1, U1=3,46410<4
Hypothèse de récurrence: On suppose que Pn est vraie pour tout n appartenant à N. On veut montrer que la proposition est vraie au rang n+1.
On a: Un<4
Un+12<4+12
Un+12<16
(Racine de:Un+12)< (Racine de: 16), car la fonction Racine carré de x est croissante.
(Racine carré de:Un+12)< 4
Un+1< 4
Donc la propriété est vraie au rang n+1( c'est-à-dire que la proposition est héréditaire.)
Conclusion: Pour tt n appartenant à N, Un< 4.
Puis le 3)Démontrez que la suite (Un) est strictement croissante.
Initialisation: si n=0, Uo=0 et U1=3,46410
donc, Uo< U1, Po vérifiée.
si n=1, U1=3,46410 et U2=3,93244
donc U1< U2, P1 vérifiée.
Hypothèse de récurrence:On suppose que Pn est vraie et on veut montrer que la proposition est vraie au rang n+1.
Hérédité: On a: Un< Un+1 (par l'hyp. de récurrence)
Un+12
U(n+1) < U(n+2)
Donc Pn est vraie au rang n+1( c'est-à-dire la proposition est héréditaire)
Conclusion: Pour tt n appartenant à N, Un < Un+1 càd (Un) strictement croissante.
Voilà voilà pour le travail déjà effectué maintenant je bloque sur le dernier exercice, ) à savoir,
4)a. Démontrez que l'on a: 4-Un+1 < 4 - Un/4, pour tt n appartenant à N.
et b. Démontrez que l'on a 4- Un < 1/4^(n-1).
Et là je ne sais plus du tout ce que je dois faire ou comment m'y prendre, je n'y parviens pas par récurrence.. Avez-vous qlqch à me suggérer?
Merci infiniment =) Bonne journée!