Formule explicite d'une suite (récurrence...)

[chelsea-asm]

Bonjour,
Je suis en Terminale S, et on commence à faire les raisonnements par récurrence.
On me donne la définition d'une suite par :



J'ai trouvé les 5 premiers termes, à savoir :


Je dois trouver une formule explicite, bien sûr, autre que , pour faire un raisonnement par récurrence.
J'ai déjà fait des exercices du même genre mais là je bloque vraiment ! :hein:
J'avais trouvé mais ça marche pas, je sais pas comment je me suis débrouillé.

Merci beaucoup ! :help:

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

Ici on ajoute n à pour passer à

Donc on a



....


Ca doit pouvoir t'aider sur ce que vaut

[chelsea-asm]

Hum... en gros il y a une histoire de factorielle là dedans ?
Ou une histoire avec genre "somme des termes allant de à ?

[Arnaud-29-31]

Les factoriels c'est avec des multiplication, la on reconnait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) : C'est la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1, qui fait l'objet d'une formule que tu connais bien sur par coeur :)

[chelsea-asm]

Oui désolé pour les factoriels.
Euh... Je sais pas si je me complique la vie, mais serait-ce cela la formule ?

[Arnaud-29-31]

Y'a une formule qui exprime ce que vaut cette somme.

[chelsea-asm]

Aïe ! Ben euh... faut que je réfléchisse...
C'est une formule bidon ?

[Arnaud-29-31]

C'est dans le chapitre sur les suites.
Y'en a une pour la somme des termes d'une suite arithmétique et une autre pour les suites géométrique.

Elle se retrouve facilement si on ne la connait pas :
Si on note S ce que l'on cherche,

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-3) + (n-2) + (n-1)

Si j'écris la somme dans l'autre sens j'ai :
S = (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1

Et si je fais la somme j'ai donc
2S = n + n + ... + n

Et donc S = ??

[chelsea-asm]

Oups, j'ai le don de plus me souvenir des cours de l'an passé... Euh ben je vais manger pour pouvoir réfléchir le ventre plein et je reviens, merci beaucoup de m'aider !

[chelsea-asm]

C'est la somme des n divisée par 2 ?

[chelsea-asm]

Désolé de ne pas édit, on peut classer, j'ai trouvé !



C'est bien ça ?

[Arnaud-29-31]

Oui voila c'est ça.

Pour ne pas se tromper on retiens que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est égal au nombre de termes (ici n-1) multiplié par la moyenne des termes extrèmes (ici )