Calcul de limite par développements limités

[louisJ]

Bonjour,

je sais que la limite en 1- de la fonction:

( x (arcsin(x)-pi/2) + sqrt(1-x^2) ) / (1-x^2)^(3/2)

est 1/3.

Cependant j'aimerais pouvoir le démontrer en utilisant les développements limités.
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance.
Cordialement.
LouisJ

[nuage]

Salut,
je ne sais pas pourquoi tu veux faire ça avec des DL, mais, à priori ça semble aussi compliqué que de chercher directement la limite. En particulier à cause du faait que ni , ni n'ont de DL en 1. Bien que leur somme en ai peut-être un.

[louisJ]

bonjour

il me semble pourtant qu'on peut faire des DL sur l'adhérence de l'ensemble de définition d'une fonction ce qui est le cas pour 1 et arcsin(x).
Par une recherche de limite classique je ne trouve pas, c'est pour ça que j'essaie de le faire par les DL.
une idée?

[kazeriahm]

arcsin n'est pas dérivable en 1, donc elle n'admet pas de DL en 1

[louisJ]

comment puis-je faire pour calculer la limite alors?

[tize]

Bonjour,
au risque de dire une grosse bêtise :
je pense que l'on peut utiliser la première généralisation de la règle de l'hôpital puisque

[Lierre Aeripz]

Arcsin n'a pas de DL en 1, c'est vrai, mais elle admet un équivalent :

(Quant à la limite, je trouve 1/2.)

[louisJ]

bonjour,

merci pour cette idée.
En faisant la régle de l'hopital deux fois de suite, je trouve une limite qui vaut -1/3.....c'est étonnant étant donné que la limite que je cherche est 1/3...
...une idée?

[louisJ]

bonjour Lierre Aeripz,
comment faites vous pour calculer l'équivalent de arcsin(x) en 1 sachant que sa dérivée n'est pas définie en 1?
Merci.

[Lierre Aeripz]

on sait que . On sait de plus que , que l'on peut obtenir par dérivation.
Une composition donne le résultat recherché.

[liljuan]

tu peux aussi dérivée ta fonction (arcsin(x))'=1/(sqrt(1-x²)) puis ensuite calculer son DL et l'integrer. Enfin tu auras une fonction relativement simple et tu pourras utiliser les DL usuels.

[Lierre Aeripz]

L'équivalent est bon, mais la méthode est mauvaise : on ne peut pas sommer les équivalents. C'est pourquoi je trouvais 1/2 et non 1/3.

[Lierre Aeripz]

tu peux aussi dérivée ta fonction (arcsin(x))'=1/(sqrt(1-x²)) puis ensuite calculer son DL et l'integrer. Enfin tu auras une fonction relativement simple et tu pourras utiliser les DL usuels.

Arcsin n'a pas de DL en 1. Ce n'est pas la peine de chercher ! Admettre un DL en un point, est équivalent, pour une fonction d'un réel, à être dérivable. (D'ailleur, arcsin', n'admet pas non plus de DL en 1.)

[louisJ]

on doit pouvoir estimer le DL en 1 de arcsin puisqu'il est dit dans les cours
(par exemple 1ere de remarque dans cette page
http://www.les-mathematiques.net/a/d/b/node4.php3
)
que les DL peuvent se pratiquer sur l'adhérence de l'intervalle de définition de la fonction lorsque celui-ci est ouvert?

entendu pour la méthode, on ne peut pas sommer des équivalents
La question reste donc intacte,
comment faire pour tomber sur ce 1/3?

[louisJ]

bonjour,

j'avais fait une erreur de calcul,
la règle de l'hopital (1ere généralisation) fonctionne bien.
On trouve bien 1/3.
Merci à tous pour vos réponses et vos idées.