DM spé maths

[moranie]

bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice de spé maths
il faut démontrer que "n est divisible par 3 si et seulement si n^4 est divisible par 3" sachant d'après les questions précédentes que (n-2)^4 est congru à n^4+n^3+n+1 modulo 3
si et seulement si demande une démonstration dans les deux sens or je n'arrive pas a venir a bout de cette démonstration
merci d'avance pour votre aide
moranie

[Imod]

Les deux questions sont indépendantes , 3 est un nombre premier , dire qu'il divise n ou n^4 est équivalent .

Imod

[moranie]

Imod,
...donc dans ce cas là une démonstration n'est pas indispensable??
moranie :hein:

[Imod]

Si quand même !
Dans un sens c'est évident , si 3 divise n il divise n^4 .
La réciproque utilise le théorème de Gauss si 3 ( premier ) divise n.n.n.n alors 3 divise n .

Imod

[moranie]

merci,
maintenant un deuxième problème se pose à moi il faut que je determine les entiers n tel quel n^4+n^3+n+1 soit divisible 3
moranie

[Imod]

Commence par factoriser ton expression :

Imod

[moranie]

et j'en déduis que la factorisation est congru à 0 modulo 3?
moranie

[Imod]

Oui et le procédé classique , un produit est divisible par 3 si l'un de ses facteurs est divisible par 3 .

Imod

[moranie]

je modifie l'expresiion pour avoir deux facteurs
(n+1)(n^3+1)
et il me faut un facteur divisible par 3
donc je prend le plus simple =>n+1
n+1=3k avec k€Z
ce qui me donne n=2k
ça peut marcher avec cette méthode
merci de me guider pour cette exercice

[Imod]

n+1=3k avec k€Z ce qui me donne n=2k

Vraiment sûr :hein:

Imod

[moranie]

non
3k-1!
désolé

[moranie]

non
3k-1
désolé

[Imod]

C'est à dire modulo 3 . Je te laisse faire pour le deuxième facteur .

Imod