DM sur les complexes et une étude de fonction.

par **jfbello** » 15 Oct 2007, 15:00

Bonjour

J'ai un DM pour vendredi et je n'y arrive pas du tout, j'essaie des trucs mais ça ne mène à rien, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Voici l'énoncé:
I. On considère le polynôme P(z)=z^4+17z²-28z+260, où z est un nombre complexe.
1.Déterminer a et b tel que P(z)=(z²+az+b)(z²+4z+20).
2.Résoudre dans C l'équation P(z)=0.
3.Placer, dans un repère orthonormal direct (O;u;v), les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs m=-2+4i; n=-2-4i; p=2+3i et q=2-3i.
4.Déterminer le nombre complexe z vérifiant (z-p)/(z-m)=i. Placer son image K.
5.Déterminer le point L tel que KMLP soit un parallélogramme.

II. On considère la fonction f définie sur E = lR/ {.1;1} par f(x)=(x^3+2x²)/(x²-1) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i; j).

1.Etudier les limites de la fonction f aux bornes de E. Donner les conséquences graphiques données par ces limites.
2. Démontrer que, pour tout x de E, f '(x)=[x(x^3-3x-4)]/(x²-1)².
3. Afin d'étudier le signe de f'(x), on étudie le signe de la fonction Q définie sur lR par: Q(x)=x^3-3x-4.
a.Etudier les variation de Q.
b.Démontrer qu'il n'existe qu'un seul réel a tel que Q(a)=0.Donner un valeur approchée de a à 10^-2 près.
c.Déduire des questions précédentes le signe de Q(a) puis celui de f '(x).
4.Dresser le tableau de variation de f.
5.Démontrer que la droite (D) d'équation y=x+2 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +oo et -oo.
6.Etudier la position de (C) par rapport à (D).
7.Etudier l'équation de la tangente au point d'abcisse 2.
8.Déterminer les abcisses des points de (C) en lesquels la tangente à pour coefficient directeur 1.
9. Tracer la courbe (C) et la droite (D).

En espérant votre aide...
JFBello

par **johnjohnjohn** » 15 Oct 2007, 15:07

jfbello a écrit:Bonjour

J'ai un DM pour vendredi et je n'y arrive pas du tout, j'essaie des trucs mais ça ne mène à rien, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Voici l'énoncé:
I. On considère le polynôme P(z)=z^4+17z²-28z+260, où z est un nombre complexe.
1.Déterminer a et b tel que P(z)=(z²+az+b)(z²+4z+20).

En espérant votre aide...

Si tu nous ne livres pas le fruit de tes reflexions pour la I1) pour commencer , notre aide tu ne feras que l'espérer !

par **jfbello** » 15 Oct 2007, 15:20

Pour la I.1, j'ai développé P(z)=(z²+az+b)(z²+4z+20) pour ensuite pouvoir aboutir z^4 + z^3(4+a) + z²(4a+b+20) + z (20a+4b) + 20b. mais je n'arrive pas à en déduire a et b ...

par **johnjohnjohn** » 15 Oct 2007, 16:02

jfbello a écrit:Pour la I.1, j'ai développé P(z)=(z²+az+b)(z²+4z+20) pour ensuite pouvoir aboutir z^4 + z^3(4+a) + z²(4a+b+20) + z (20a+4b) + 20b. mais je n'arrive pas à en déduire a et b ...

je ne vérifierai pas ton développement ( tes calculs ) . Une fois que tu en es là , tu identifies coefficient par coefficient de chaque monome :

z^4 + z^3(4+a) + z²(4a+b+20) + z (20a+4b) + 20b =z^4+17z²-28z+260

ssi

1=1 ( pour z^4)
4+a=0 ( pour z^3)
4a+b+20=17
20a+4b=-28
20b=260

( indice la premiere condition tu peux l'éliminer sans changer ton système d'équation :lol5: )

maintenant tu as tout ce qu'il faut ( je te conseille néanmoins de vérifier tes calculs une seconde fois, on ne pourra pas le faire à ta place .... )

par **tats1109** » 15 Oct 2007, 16:08

I.
1.Déterminer a et b tel que P(z)=(z²+az+b)(z²+4z+20)=> développer l'expression et identifier les coefficients des z de même puissance...Je n'ai pas vérifié ton calcul, je te fais confiance...cela donnerait ici:
(4+a) =0 puiqu'on n'a pas de puissance de 3
(4a+b+20) = 17
(20a+4b)= -28
20b = 260

Tu as largement d'équations pour trouver a et b!

2.C'est du calcul pur et simple

3.Cela signifie juste que tu dois calculer P(m), P(n) etc

4. Encore du calcul...

5.KMLP parallélogramme <=> vect(KM) = vect(PL) par ex.
Soit donc z(vect(KM)) = z(vect(PL))
Tu remplaces et tu trouves K

Bon, voilà pour commencer... La deuxième partie est une étude de fonction classique.

Bon courage

par **jfbello** » 17 Oct 2007, 13:40

Bonjour!
J'ai un petit problème avec la question 4 de l'exercice 1.
Voici mon raisonnement
(z-p)/(z-m)=i
z-p=i(z-m)
z=zi-mi-p
et normalement une fois que j'ai isolé z je remplace par les affixes .
Mais quand j'essaye d'isoler z il s'annule . . . :hum:
z-z=(-mi-p)/i

par **jfbello** » 17 Oct 2007, 15:14

:help: vous pouvez m'aider svp ? il me manque juste cette question pour finir l'exercice :triste:

DM sur les complexes et une étude de fonction.

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