Récurrence de suite.. >_<'

[Alfador]

J'ai toujours détesté les récurrences de suites, et donc forcement, quand j'en ai une à faire dans un DM je bloque...

Bref :
U0 = a pour tout entier n. Et où a est strictement compris entre 0 et 1
U(n+1) = Un(2 - Un)

Et je dois montrer par récurrence que pour tout entier n, la suite (Un) est strictement compris entre 0 et 1.

Donc si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ? :]

[Alfador]

Donc il faut initialiser avec U(0,1) et pas U(0) déjà non ?
Ce qui ferait U(0,1)=0,19 il me semble.

Mais en suite, l'hérédité.. -_-'

Donc si quelqu'un pourrait m'aider/m'expliquer ?

[Quidam]

Donc il faut initialiser avec U(0,1) et pas U(0) déjà non ?

C'est quoi U(0,1) ?????
Tu as U(0) et tu calcules U(1)=U(0)*[2-U(0)].
Tu as U(1) et tu calcules U(2)=U(1)*[2-U(1)].
Tu as U(2) et tu calcules U(3)=U(2)*[2-U(2)].
Et ainsi de suite !
Nomme f la fonction qui a U(n) associe U(n+1) !
U(n+1)=f(U(n))
et : f(x)=x(2-x) non ?
Alors, il suffit de montrer que si 0 < x < 1, alors 0 < f(x) < 1 ! C'est tout !

Ce qui ferait U(0,1)=0,19 il me semble.

Il ne faut pas que tu choisisses une valeur particulière pour U(0) car ensuite, quoi que tu démontres, ce sera démontré uniquement pour cette valeur particulière ! En outre U(0,1) ne veut rien dire ! Il y a U(0), il y a U(1), mais U(0,1) c'est quoi ?

[Alfador]

Vu que ma suite était sur l'intervalle ]0;1[ je pensais qu'il fallait pas prendre U0, mais un peu plus grand. Mais ouais, j'avais oublié que c'est que des nombres entier pour n.

Et sinon, pour faire un raisonnement par récurrence, il faut pas initialiser avant ? Et donc calculer U0 (bon, moi je pensais que fallait prendre U(0,1) mais l'idée est là)

Mais sinon, comment tu montres que si "0 < x < 1" alors "0 < f(x) < 1" ?
Avec les limites ? Avec la dérivée et le tableau de signe ?
Non, je comprend jamais comment on prouve par récurrence, et ça m'énerve :s

[Quidam]

Mais sinon, comment tu montres que si "0 < x < 1" alors "0 < f(x) < 1" ?
Avec les limites ? Avec la dérivée et le tableau de signe ?

Tu ne reconnais pas la forme de f(x) ? As-tu étudié les trinômes du second degré ? Mets f(x) sous la forme canonique !

[Alfador]

Euh, si. Donc f(x) c'est une fonction carré inversée, enfin, une parabole qui à un maximum (ici 1, j'ai du le prouver dans une question avant ^^).
En passant sous la forme canonique ça donnerait f(x) = (x-1)² -1.

Et donc pour tout x compris dans l'intervalle ]0;1[ on à : (x-1)² < 1, et donc on aurait toujours un résultat négatif non ? Enfin, je trouve "-1 < f(x) < 0" comme ça pour x compris dans ]0;1[. Je me suis trompé où ?

[Quidam]

Euh, si. Donc f(x) c'est une fonction carré inversée, enfin, une parabole qui à un maximum (ici 1, j'ai du le prouver dans une question avant ^^).
En passant sous la forme canonique ça donnerait f(x) = (x-1)² -1.

Et donc pour tout x compris dans l'intervalle ]0;1[ on à : (x-1)² < 1, et donc on aurait toujours un résultat négatif non ? Enfin, je trouve "-1 < f(x) < 0" comme ça pour x compris dans ]0;1[. Je me suis trompé où ?

Refais tes calculs : x*(2-x) n'est pas égal à (x-1)²-1 ! Tu ne me crois pas ? Développe l'un et l'autre et tu verras bien !