Une équation différentielle

[laurafr13]

Bonjour,

je suis bloquée sur une question qui semble être facile et qui me pose pourtant problème. Voici l'énoncé:

Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f deux fois dérivables sur R qui vérifient la relation suivante:

Pour tout x appartenant à R, f''(x)-f(-x)=x (1)

Préliminaires: Resolution de y''+ y=0 (2) et de y''- y=2x.

1: On suppose q'il existe des fonctions deux fois dérivables sur R qui vérifient a relation (1). Soit f l'une d'entre elles. On considère les fonctions g et h définies sur R par:

g(x)=f(x)+f(-x) et h(x)=f(x)-f(-x)

a) Montrer que g est deux fois dérivable sur R. Calculer g' et g''. Démontrer que g vérifie l'équation (2).


Mes réponses: Pour les prélimnaires je trouve pour la première: y(x)=acosx + bsinx et pour la deuxième y(x)=ae^x + e^-x - 2x.

J'ai montré que g était dérivable deux fois par le fait que c'et la somme d'une fonction dérivable et de la composée de deux fonctions dérivables.

J'ai trouvé g'(x)= f'(x)-f'(-x) et g''(x)=f''(x)+f''(-x). En revanche, je ne trouve pas que g"+g=0.

Quelqu'un pourrait m'aider?

Merci beaucoup d'avance, laura.

[xyz1975]

Bonjour
N'oubliez pas que vous pouvez remplacer f"(-x) par f(x)-x puisque dans la relation f''(x)-f(-x)=x vriae pour tout x dans R f"(x)=f(-x)+x donc f"(-x)=f(x)-x.