Equation différentielle avec une fonction au carré

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai une étude à faire sur un circuit électronique qui me mène à l'équation suivante:

D'abord, la physique (vous n'etes pas obligés de comprendre, c'est juste pour vous étaler les équations qui ont mené à mon équation différentielle):

Un transistor NMOS commute une tension VA présente sur son drain vers une capacité de valeur C, connectée sur sa source. La tension aux bornes de cette capacité est notée vs(t). C'est la tension de grille ve(t) du transistor qui commande l'ouverture ou la fermeture du transistor (comme un interrupteur: fermeture quand ve(t)=VE).

L'équation du transistor est la suivante:
Ids = alpha * (Vgs-Vt)^2 * (1+lambda*Vds)
sachant que l'équation de la capacité est:
Ids = C*dvs(t)/dt
on obtient (en posant A0=C/alpha):

A0 * dvs(t)/dt = (1+lambda*VA)*(ve(t)-VT) + lambda*(VT-VA-ve(t))*vs(t) + lambda*vs(t)^2

Notes:
A0, lambda, VA et VT sont des constantes réelles strictement positives.
vs(t)^2 est le carré de la fonction vs(t).
Les conditions initiales sont les suivantes:
vs(0-)=0,
ve(0+)=VE
dvs(0-)/dt = 0


Je cherche à la résoudre! Je ne sais pas comment faire; j'ai bien tenté le formalisme de Laplace mais je ne connais pas la transformée de vs(t)^2...

Quelqu'un est-il capable de faire la résolution de vs(t)?

[Pythales]

Pour se ramener à une forme mathématique, en posant vs(t)=y(t), et si j'ai bien compris, on arrive à une équation de la forme :
où a, b et c sont des fonctions de t.
Si c'est ça, il s'agit d'une équation de Ricatti. Elle ne s'intègre pas dans le cas général (Liouville), sauf si on connait une intégrale particulière.
Si tu arrives à en trouver une, on peut aller plus loin ...