Prolongement d'une solution d'une équation différentielle

[Thouny71]

Bonsoir à tous !

Je bloque pour 2 questions qui me sont posées, pouvez vous m'aider ?

Soit (E) : 4xy''(x)+2y'(x)+y(x)=0
Soit I=]0,(pi^2)/4[
Soit y(x)=Asin(sqrt(x))+Bcos(sqrt(x)) pour tout x appartenant à I et A,B des constantes réelles.

Voici les questions est : - Quelles sont les solutions de (E) sur I prolongeables en une fonction dérivable en 0 ?
- Peut on trouver une solution y vérifiant y(0)=0 et y'(0)=1 ?

Je bloque surtout pour la première.
Je sais qu'il faut faire une analyse synthèse mais je ne vois vraiment pas quoi faire dedans.

Merci beaucoup pour votre aide

[tournesol]

Tu as du démontrer que les solutions de E sur ton intervalle sont decrites par la fonction y donnée .
Le développement asymptotique de cette fonction en 0 à l'ordre 1 est

Or une fonction est dérivable en 0 ssi elle admet un developpement LIMITÉ à l'ordre 1 en 0 , ie à l'ordre 1 et POLYNOMIAL . Donc les solutions de E dérivables en 0 sont celles qui vérifient A=0 .
On a y(0)=B et y'(0)= - B/2 donc la condition initiale imposée est clairement impossible .

[Thouny71]

Merci beaucoup pour votre réponse