Terminale - congruences

[tuxy]

Bnojour j'ai des vrai ou faux en spé maths (congruences et divisibilités) et j'aimerais votre aide pour une correction s'il vous plait:

1)Montrer que 4x-5y = 9 => x+y multiple de 3
J'ai calculé et je trouve faux, pourtant aucun contre exemple n'est trouvable et j'ai l'impression que c'est plutot vrai ?

2)4x-5y=9 => 4x congru a 5 mod 9 => x congru a -1 mod 9
J'ai trouvé que c'est faux, qulequ'un peut-il me confirmer ?

3)4x est congru a 1 mod 8 n'a pas de solution dans Z (j'ai trouvé vrai avec un tableau de congruences mais je suis pas sur)?

Merci de votre aide :)

[rene38]

Bonsoir

1) 4x-5y = 9 donc 3 divise 4x-5y
3 divise bien sûr 3(-x+2y)
3 divise donc la somme 4x-5y + 3(-x+2y) c'est à dire ...

2) x=1 ; y=-1

3) x étant entier, la division de 4x par 8 ne peut donner que combien de restes possibles ...

[tuxy]

Merci de tes réponses, en fait pour la 2) j'avais trouvé ce contre exemple, je voulais être sûr merci.

Pour la 3) j'ai un tableau de congruence des 8 restes possibles dans la division de 4x par 8 et je ne trouve 0 nulle part ce qui signifie donc que la 4) est vraie. Est-ce exact ?

Je me suis trompé sur la premiere question j'ai vu un "entraine" au lieu de "equivalent à", du coup je n'arrive plus à la faire:

1) 6x congru 1 [5] <=> 4 * 6x congru 4 [5]

Evidemment je peux démontrer dans un sens mais dans l'autre cela revient à une division, et cette opération n'est pas possible sur les ongruences il me semble, existe-t-il une méthode pour démontrer ca ?

[tuxy]

Je n'arrive plus la derniere question du coup:

Determiner a l'aide de vos reponses les entiers relatifs x tels que 6x congru 1 [5] puis les couples (x,y) d'entiers relatifs tels que 4x - 5y = 9;

Et donc je n'arrive pas à démontrer dans les 2 sens que 6x congru 1 [5] <=> 4*6x congru 4 [5] :/

Merci de votre aide :)

[tuxy]

Personne n'ad d'idee ? C'est pour demain s'il vous plait :s

[cesson]

la question est dure. Si tu connais Bezout elle devient simple

si 4*6x congru à 4[5], comme 4 et 5 sont premiers entre eux il existe u et v tels que 4u + 5v = 1 (Bezout) et donc ici u = 4 [5]. L'equation au départ peut alors s'écrire 6x = 4 * u [5] soit 6x = 1[5].

dis moi si tu as compris bonne chance pour demain

[lapras]

Salut,
autre maniere :
4(6x-1) = 0 [5]
ca veut dire que
6x = 1 [5]
cqfd
ps : les solutions sont tous les x de la forme 5k + 1
donc tous les x = 1 [5]

[cesson]

lapras a raison mais uniquement car 5 est premier

[tuxy]

Merci de votre aide, j'ai rendu le devoir de toute facon.

Non on a pas encore appris Bezout mais on va bientot le faire.
Pour les solutions j'ai trouvé au dernier moment qu'elles étaient de la forme n=5q+1 en effet.

Sinon pour l'equivalence j'ai pas trop compris comment tu passe de 4(6x-1) = 0[5] à 6x = 1[5] puisqu'on ne peut pas diviser ?

Merci de votre aide