- Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7^n
- Démontrer alors que (2005)^2005 = 7[9]
- Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10)^n = 1[9].
- On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : N = S[9].- En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
- On suppose que A= (2005)^2005 ; on désigne par :
- B la somme des chiffres de A;
- C la somme des chiffres de B;
- D la somme des chiffres de C.
- Démontrer la relation suivante : A = D[9]
- Sachant que 2005 < 10 000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B < 72 180.
- Démontrer que C < 45
- En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
- Démontrer que D = 7
Voici ce que j'ai trouvé pour l'instant (en gros, mon vrai devoir sera plus détaille bien sur =))
Pour la 1 :
a) 7^(n+3) - 7^n
= 7^n (7^3 - 1)
= 7^n (38*9 +1 - 1)
= 7^n*38*9
Comme la différence 7^(n+3) - 7^n est divisible par 9 alors 7^(n+3)= 7^n[9] donc que le reste se répète périodiquement tous les 3 entiers et qu'il n'y a ainsi que 3 restes possibles.
b)J'ai dit que, selon la relation, précédemment trouvée, 7^4 = 7[9], puis que 7^7 = 7^4[9] donc à 7[9] etc...Par récurrence jusqu'à ce qu'on arrive à 7^2005 = 7[9].
Ensuite j'ai décomposé 7 et 2005 :
2005 = 222*9 + 7
7 = 0*9 + 7
Donc 2005 = 7[9], en utilisant une relation de mon cours je peut dire que (2005)^2005 = 7^2005[9] donc selon le résultat précédent : (2005)^2005 = 7[9]
Ensuite pour le 2 :
a) 10 = 9*1 + 1
1 = 9*0 + 1
Donc 10 = 1[9] donc toujours selon mon cours : 10^n = 1^n[9], or 1^n donnera toujours 1 quelque soit n donc 10^n = 1[9]
Puis après j'y arrive plus :hein:
je crois avoir trouvé une piste : c'est que si le nombre est divisible par 9 alors la somme de ses chiffres est un multiple de 3 mais j'arrive pas à aller au delà =S
Merci d'avance pour votre aide