Integrales!

[fifou91]

Bonjour a tous,

j'ai une petite question rapide a propos des integrales :

Obtient-on excatement le meme resultat lorsque l'on integre l'aire sous une courbe avec un decoupage regulier qu'avec un decoupage irregulier? Je ne trouve aucune demonstration sur le net!


Merci d'avance!

[SimonB]

Obtient-on excatement le meme resultat lorsque l'on integre l'aire sous une courbe avec un decoupage regulier qu'avec un decoupage irregulier? Je ne trouve aucune demonstration sur le net!

Si tu parles des sommes de Riemann, oui... Mais il s'agit d'une limite !

Sinon, il est évident que (sauf pour une fonction constante) les sommes de Riemann partielles dépendent du découpage.

[fahr451]

Bonjour a tous,

j'ai une petite question rapide a propos des integrales :

Obtient-on excatement le meme resultat lorsque l'on integre l'aire sous une courbe avec un decoupage regulier qu'avec un decoupage irregulier? Je ne trouve aucune demonstration sur le net!


Merci d'avance!

bonjour
ta question est suffisamment vague pour qu'on réponde ceci:

qu'on découpe n'importe comment un domaine en sous domaines qui ne se chevauchent pas et la somme des aires sera toujours l'aire totale

[fahr451]

je ne réponds pas aux messages privés

pose ta question ici

[fifou91]

(Re)Bonjour,

Je vais preciser un peu plus sur le sujet des integrales.
J'ai une courbe quelconque.

J'ai 2 cas : un ou le decoupage est regulier (toutes les 0.1s par exemple), l'autre ou le decoupage est irregulier.
J'ai le meme nombre de decoupage dans les 2 cas.

Je n'obtiens pas le meme resultat d'aire sous la courbe a la fin.
Est-ce normal? Ou est-ce le logiciel qui est mal programme?
Il me semble que plus le decoupage est grossier, moins le resultat est precis non? Mais comme dans les 2 cas il y a le meme nombre de decoupage, je ne sais pas trop...

J'espere que c'est assez clair!

Merci d'avance!

[AngeBlanc]

Les limites seront identiques.
Les suites d'aire calculée a chaque fois sont logiquement différentes...
Je ne vois pas où est le bug...
L'important dans les approximation d'aires, ce n'est pas les valeurs proprement dites, mais la vitesse de convergence...

Ca répond a la question ?

[fahr451]

voila exactement


tu as deux calculs APPROCHES

plus le découpage est fin plus c'est précis; à aucun moment tu n'as la valeur exacte de l'aire sous la courbe (l'égalité n'a (aurait) lieu que pour un découpage "infiniment petit" )

[fifou91]

C'est relativement complique sans image, mais je ne peux pas joindre de fichier...

Prenons une courbe et 2 cas. Dans les 2 cas, l'axe des abcisses va de 0 a 10s, pour l'integrer je decoupe la courbe en 10 morceaux exactement, donc pas de decoupage plus fin ou de vitesse de convergence (vrai?)

1er cas : les decoupages sont effectues regulierement toutes les 1s
2e cas : les decoupages sont effectues aleatoirement (par ex : le premier a 0.84s, le second a 3.26s, etc)

Obtient-on le meme resultat numerique a la fin?

PS : comment on joint des fichiers? :triste:

[AngeBlanc]

Non !

J'imagine que ton découpage est un découpage en rectangles...

Pour illustrer cela, il suffit de prendre un exemple simple :

Soit F définie de [0;1] dans R.
F(x) = 1 si x <= 0.45
F(x) = 2 sinon.

Un découpage régulier en 10 parties (x0 = 0 x1= 0,1 x2 = 0,2 etc...) donne une aire totale de 5*0,1*1 + 5*0,1*2 = 1,5 u.a.

Or, le découpage irrégulier suivant donne une autre aire (qui ici est exacte vu que la fonction est constante par morceaux) :
x0 = 0 x1 = 0,45 x2 = 0,50 (et son s'arrange pour predre le restants des x > 0,5)

Donc l'aire devient 0,45*1*1 + Somme ((x(i+1)-x(i))*2)(i=1..9)
= 0,45 + (0,55)*2
= 0,45 + 1,1
= 1,55 u.a.

Résultat différent ! Mais meme nombre de segments....

J'espère ca t'aide :ptdr:

[fifou91]

Ok merci ange blanc, c'est exactement ce que je voulais savoir!

[AngeBlanc]

Super !

Bon courage pour le reste !