je dois fair un exo de maths pour demain mais je suis bloqué sur les dernieres questions :
Il s'agit de déterminer toutes les fonctions f satisfaisant la condition :
f une condition définie sur [0;1] et à valeurs dans [0;1], |f(x)-f(y)| >= |x-y| .
1- Verifiez que les fonctions u et v définies sur [0;1] par u(x)=x et v(x)=1-x remplissent cette condition.
2- Dans toute ma suite, f désigne une fonction satisfaisant la condition. Prouvez qu'alors nécessairement :
( f(0)=0 ou ( f(0)=1
( f(1)=1 ( f(1)=0
3- On suppose que f(0)=0 ( donc f(1)=1 )
a) Démontrez que pour tout x de [0;1], f(x) >= x
b) Exploitez l'inégalité |f(x)-1| >= |x-1| pour établir que opur tout x de |0;1], f(x)=x .
4- Examinez le cas f(0)=1. On pourra par exemple s'interesser à la fonction g(x)= 1-f(x) .
5- Déduisez de cette étude que les seules fonctions qui vérifient la condition énoncée sont les fonctions u et v.
Voici ce que j'ai fait pour le 1 et le 2 :
1) |f(x)-f(y)| >= |x-y|
|u(x)-v(x)| >= [x-y|
|x-1+x| >= |x-y|
|-1+2x| >= |0-1|
|2x-1| >= |-1|
2) On sait que f est définie sur [0;1] et à valeurs dans [0;1] tel que pour tt x et y de [0;1], |f(x)-f(y)| >= |x-y| donc on vérifie ce système :
|1-0| >= |0-1|
1>0 donc ces systemes répondent à la fonction satisfaisant la condition.