Orthogonalité de matrices[merci pour vos réponses.]

[dtg]

Bonjour a vous tous, voila notre problème;

Soit A la matrice

0 1 0
0 0 1
1 0 0

a) M.q. x=1 est l'unique valeur propre réelle de A.
Déterminer son sous espace propre associé E1

Nous avons donc trouvé pour l'unique valeur propre 1 :
det (A-xId) = (1-x)(x²+x+1)

Mais après on lutte pour trouver le sous espace propre associé
on trouve (1,1,1) (on calcule ker(A-Id))...

b) Déterminer E1 l'orthogonal de E1 et en donner une base.

c) Montrer que E1 et E1 l'orthogonal sont des sous espaces vectoriels de R3 stable par A

Voila c'est un ancien examen, et on essaye de le refaire sans résultat pour ces questions...

Merci par avance pour votre aide

[quinto]

Bonjour a vous tous, voila notre problème;

Soit A la matrice

0 1 0
0 0 1
1 0 0

a) M.q. x=1 est l'unique valeur propre réelle de A.
Déterminer son sous espace propre associé E1

Nous avons donc trouvé pour l'unique valeur propre 1 :
det (A-xId) = (1-x)(x²+x+1)

Mais après on lutte pour trouver le sous espace propre associé
on trouve (1,1,1) (on calcule ker(A-Id))...

Bonjour,
tu cherches un x tel que Ax=x, il te suffit donc de résoudre ce système.

b) Déterminer E1 l'orthogonal de E1 et en donner une base.

Tu peux trouver un supplémentaire de E_1 et l'orthogonaliser par Gram-Schmidt.
Mais il y'a plus direct ici, si effectivement (1,1,1) engendre bien E_1, alors on voit directement que
v_1=(1,0,-1)
et
v_2=(1,-1,0)
sont dans l'orthogonal de E_1 et sont indépendants.

c) Montrer que E1 et E1 l'orthogonal sont des sous espaces vectoriels de R3 stable par A

Pour ça, il suffit de décomposer tout vecteur sur E_1 et son orthogonal et de voir ce qui se passe.

[jeje56]

a) Effectivement E1 = Vect(1,1,1)
b) Un espace et son orthogonal étant supplémentaires, il faut trouver un espace de dimension 2 (3-1...) vérifiant b orthogonal à a et c orthogonal à a, avec a=(1,1,1) et (b,c) base de cet espace cherché...

[kazeriahm]

pourla c) en reprenant les vecteurs de l'orthogonal de E1 donne par quinto, on trouve A*v1=(0,-1,1) qui est bien orthogonal à (1,1,1) et donc a E1 tout entier et A*v2=(-1,0,1)=-v1 encore dans l'orthogonal de E1 donc...