Espace à produit scalaire, orthogonalité

[vejitoblue]

salut.
je me penche sur les espaces vectoriels à produit scalaire, genre déjà les espaces euclidiens et hermitien, ça à l'air d'etre utile pour la réduction d'endomorphisme et les séries de fourier des truc du genre.

j'ai une question un peu bidon sur les projections orthogonales, je vois bien ce que c'est intuitivement (quand on est dans R² ou R³), mais la définition est un peu chelou:

la def que j'ai c'est ça:
soit F un sev de (E,<>), F dimension finie.
la projection orthogonale sur F est l'appli p_F: E->E, x->p_F(x) où p_F(x) est l'unique vecteur de F tel que x-p_F(x) est dans l'orthogonal de F.

J'arrive pas à travailler avec cette définition, pour l'instant tout ce que je sais faire c'est dire que <x-p_F(x), p_F(x)>=0
avec ça j'ai pu conclure que pf est un endomorphisme, que Ker(p_F)= orthogonal de F, que ker(p_F-id)=F.
Maintenant par exemple, on veut montrer que p_Fop_F=p_F et la ça sent l'embrouille

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[Pseuda]

Bonjour,

Ce n'est rien de très compliqué : x se décompose de manière unique en x = pF(x) + (x-pF(x)). Maintenant, pF(x) se décompose lui aussi de manière unique en pF(x) = pF(x) + 0. Donc pF(pF(x))=pF(x).

[vejitoblue]

re. toujours concernant p la projection orthogonale sur F
deux props à prouver; x dans (E, <>), F sev E, N la norme de <> N(x)=racine<xx>
N(p(x))>=N(x) (= si x est dans F)
ça c'est facile inégalité triangulaire de la norme et "positivité"
pour l'égalité si x est dans F x-pf(x) est dans F (car sev) donc x-p(x) est à la fois dans F et F orthogonal qui sont en somme directe ie x=p(x)

pour la deuxième:
pour tout y dans F N(x-p)=<N(x-y)
je me suis pas encore cassé la tete, parce que je suis occupé à montrer que N est une norme... je bloque sur l'inégalité triangulaire

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[Ben314]

Salut

je me suis pas encore cassé la tete, parce que je suis occupé à montrer que N est une norme... je bloque sur l'inégalité triangulaire

Le plus simple et de loin, c'est de commencer par montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz (plusieurs preuves possibles : regarde le lien) pour ensuite en déduire l'inégalité triangulaire.

[Elias]

Salut,

Si on prend y dans F, on peut écrire :

x - y = (p(x)-y) + (x - p(x)) avec p(x)-y dans F (car F s-e-v) et (x-p(x)) dans l'orthogonal de F.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire :

|| x-y ||^2 = ||p(x)-y||^2 + ||x-p(x)||^2 et on conclut sur l'inégalité.


Pour montrer que N est une norme et en particulier l'inégalité triangulaire, c'est classique, on utilise Cauchy Scharwz, tu trouveras ça sur le net facilement.

[vejitoblue]

merci à vous deux
mais il y a un truc que je comprends pas dans la preuve de auchy-Scwharz quand on pose P(t)=N(x+ty)²
ok P(t) est positif pour tout t, mais comment prouver que ça implique que le discriminant est négatif.

[Elias]

P est une fonction polynomiale du second degré. Son discriminant vérifie car si , alors P change de signe. L'équation possède deux solutions et et P est strictement négatif sur si le coefficient dominant de P est positif et strictement négatif sur si le coefficient dominant de P est négatif.

[vejitoblue]

Salut les gars.
je suis dans le chapitre des endomorphismes adjoints histoire d'assimiler la definition j'essaie de prouver seul certaines propositions. enfin pour l'instant j'ai absolument aucune idée de ce que ça veut dire ni à quoi ça sert ces endomorphismes adjoints...

par exemple on veut montrer l'implication (u dan L(E) u* son adjoint, E euclidien):
uu*=id => u conserve le produit scalaire
u conserve le produit scalaire si j'ai compris le truc, <u(x),u(x)>=<x,x> pour les x dans oeuf
mais <x,x>=<uu*(x),uu*(x)>, je cherche la suite en attendant vos pistes =)

cya+

[Pseuda]

Bonjour,

Pour montrer que u conserve le produit scalaire c'est <u(x),u(y)>=<x,y> qu'il faut montrer ?

Par définition de u*, <u(x),u(y)>=<u*(u(x)),y) ...

[vejitoblue]

peut etre, le seul exemple de machin "conserve" truc que j'ai dans mon cours, c'est que la symétrie orthogonale s conserve la norme ie N(s(x))=N(x)

du coup je vais voir avec ce que tu me donnes,
on a <ux,uy>=<x,u*uy> (def de l'adjoint)=< x,y>
reste à montrer que u et u* commutent

[Pseuda]

Si uv=Id, alors automatiquement vu=Id (c'est la 3ème fois que je l'écris dans ce forum en quelques jours).

[Elias]

Précisément, cela marche car E est un espace euclidien donc de dimension finie.

Si u v = id, alors u est surjective car pour tout y dans E, en posant x = v(y), on a bien u(x)=y.
Ainsi, en conséquence du théorème du rang, u est donc bijective donc inversible.

Si on note w son inverse, alors u w = w u = id.

Mais comme u v = id, on a : u w = u v, soit u ( w (x) ) = u (v(x) ) pour tout x et comme u est injective, w(x)=v(x) pour tout x.

Donc w = v et on a bien v u = id.

[Ben314]

peut etre, le seul exemple de machin "conserve" truc que j'ai dans mon cours, c'est que la symétrie orthogonale s conserve la norme ie N(s(x))=N(x)

Concernant ce truc, il y a un truc important à savoir, c'est ce qu'on appelle identités de polarisation (<- lien Wiki.) qui permettent de montrer qu'une application linéaire qui préserve la norme préserve obligatoirement le produit scalaire et de façon plus générale que la connaissance de la norme sur un E.V. permet de retrouver le produit scalaire (modulo bien entendu que cette norme soit effectivement issue d'un produit scalaire...).
Ca explique en particulier que, concernant la définition de ce qu'est une "application orthogonale" (ou "isométrie vectorielle" ou tout autre nom dédié...), on peut soit mettre (uniquement) que ça conserve la norme come tu le fait, soit directement mettre que ça conserve le produit scalaire : c'est la même chose.

[Pseuda]

En effet, il suffit de montrer qu'elle conserve la norme, elle conserve alors le produit scalaire.

[vejitoblue]

Hello!

après un peu d théorie la pratique.

En := espace vectoriel de fcts polynomiales def sur [-1,1] à coeffs réelles de degré =<n.



on veut montrer que f est un PS sur En et que (En,f) est euclidien.
C'est assez trivial de montrer que f est une forme bilinéaire symétrique définie (positive).
après En est un Rev, sa dimension si j'ai bien compris c'est n vu que sa base canonique c'est
bien (100...) (0X0....) (00X²....).......(000....X^n) . donc on est bien dans un euclidien.

Après on me demande d'orthonormaliser cette base par gramm schmidt pour E2, en vrai ce message sert un peu à rien, j'ai pas vérifié si la base canonique est orthonormale (quand j'ai commencé à écrire ça me paraissait évident, mais là j'ai un doute je sens qu'il faut le prouver) du coup je comprenais pas le but de la question (à part s'entrainer a gramschmidter)

je la poste quand même j'ai pas écrit tout ça pour rien

PS: merci à tous, si avec vous j'ai pas la licence c'est que je suis un teubé

[Elias]

Je comprends pas pourquoi tu ajoutes des 0 quand tu cherches une base de En.
L'espace En, c'est un espace de fonctions polynômiales (et pas de n-uplet de polynômes) donc une base est plutôt x->1, x->x, ..., x->x^n (base canonique). Cette famille (libre et génératrice) contient n+1 fonctions et non n donc dim(En)=n+1.


Ensuite, pour utiliser le procédé de Gram-Schmidt, on part d'une famille libre ou d'une base dans la pratique mais elle est quelconque et non forcément orthonormée.

[Pseuda]

Bonjour,

J'aime bien tes exercices vejitoblue, du coup ils m'aident à consolider mon propre programme de révision.

Cela ne me paraît pas évident que la base canonique (1, x, x^2, ...., x^n) est orthonormée pour ce produit scalaire. Déjà le vecteur (la fonction) x->1 n'est pas de norme 1.

Je n'ai pas fait de calcul mais je pense qu'il faut partir d'une base (comme dit Trident2) a priori quelconque (car si elle est déjà orthonormée, c'est tout vu), alors autant partir de la base canonique, et utiliser le procédé de Gram-Schmidt d'orthogonalisation. En dimension 3, cela ne paraît pas très compliqué.

[vejitoblue]

ok merci
je comprends pas encore trop la différence entre un polynome et une fonction polynomiale sans doute.

donc En est un espace vectoriel de fonctions et donc chaque fonction polynomiale (les vecteurs de En) s'écrit comme CL de fonctions polynomiales dans une certaine base.

si f est dans En, f:[-1,1]->Rn[X] et f:x->P(x) c'est ça...
différence entre En et Rn[X] (j'essaie de comprendre): on prend P dans Rn[X] c'est directement un polynome donc une sorte d'objet qui s'écrit comme somme des aiX^i avec ai dans R

donc la base canonique de Rn[X] c'est la même que celle écrit par pseuda (1,X,...,X^n) pour En donc il ya un peu ambiguité, et c'est mieux l'écriture de trident.

[vejitoblue]

je sui en train d'essayer d'orthonormaliser cette base avec gramschmidt c'est la merde.
j'ai trouvé les deux premiers vecteurs de la base orthonormale mais pas sûr du résultat.
(e1,e2,e3)=(1,x,x²)
on cherche la base orthonormale (o1,o2,o3)
o1=e1/N(e1)=
o2=v2/N(v2) avec v2=e2-<o1,e2>o1
o2=

bien sur franchement c'est du calcul sale si y a quelqu'un pour confirmer ce serait vraiment un mac, sinon tant pis (je comprend largement c'est relou comme exo)

[Ben314]

Faut être moderne mon gars... :

(avec la souris au milieu de l'écran pour le même prix...)

P.S. : Là, je fait ça avec Maple (payant... cher...) vu que je l'ai sur le réseau, mais tu as des tonnes de libre (et gratuit) qui font quasiment la même chose (en tout cas, qui font facilement ce type de calcul sans aucune difficulté mais passablement chiants).
Par exemple LE truc super à la mode ces derniers temps, c'est évidement Python avec la librairie "sympy".