Probleme Sur Le Produit Scalaire!

[korozion1664]

Bonjour à tous, voila j'ai des difficultés à résoudre le problème suivant:

Soit trois points A,B et C non alignés ne formant pas un triangle équilatéral, A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
On pose a=BC, b=AC et c=AB.

Question: Soit vecteur u = a²vecteurBC + b²vecteurCA + c²vecteurAB
Démontrer que vecteur u = (a² - b²)vecteurAC + (c² - a²)vecteurAB puis en déduire que u n'est pas vecteur nul.

J'ai essayé d'utiliser Chasles mais ça me donne rien... :s

Merci de m'aider,

[korozion1664]

C'est bon j'y suis arrivé mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas nul... :s

[titine]

Ben si avec Chasles ça marche très bien :
u = a²vecteurBC + b²vecteurCA + c²vecteurAB
= a²vec(BA+AC) - b²vec(AC) + c²vec(AB)
= -a²vec(AB) + a²vec(AC) - b²vec(AC) + c²vec(AB)
= (a²-b²)vec(AC) + (c²-a²)vec(AB)

[bernie]

Bonjour,

pourtant il faut utiliser Chasles. Ce qui suit est en vect :

u=a²BC+b²CA+c²AB

u=a²(BA+AC)+b²CA+c²AB

u=-a²AB+a²AC-b²AC+c²AB

u=(c²-a²)AB+(a²-b²)AC

Le tri n'est pas équilatéral donc c²-a² ou a²-b² sont diff de 0. Si le tri est isocèle, l'un des peut être =0 mais pas les 2.

Si le tri est quelconque ni c²-a² ni a²-b² ne valent 0.

A+

[titine]

C'est bon j'y suis arrivé mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas nul... :s

Si u était nul on aurait (a² - b²)vecteurAC = - (c² - a²)vecteurAB
ou vecteurAC = - (c² - a²)/(a²-b²) vecteurAB
donc les vecteurs AC et AB seraient colinéaires, or A, B et C ne sont pas alignés ...
De plus, bien sûr, a² - b² non nul et c² - a² non nul car ABC non équilatéral ...

[korozion1664]

Merci à tous pour votre aide :) J'y suis arrivé!