Matrice d'un endomorphisme

[ayla8101]

Bonjour à tous,
Pour tout n appartient à N*, on a Rn[X] l'ensemble des fonctions polynomes de degré au plus n et Hn l'application qui a toute fonction f associe Hn(f)=(sommme de 0 à n de) (combinaison de k parmi n)*(f(k/n))*(X^k)*((1-X)^n-k)

(dsl pour les notations!)

On suppose n=3. Je dois déterminer la matrice de H dans la base canonique R3[X].
Le pbl est que je n'arrive pas à trouver le résultat.
Pourriez vous me montrer cmt faire, par exemple en calculant H3(1)?
Merci

[fahr451]

bonjour

H3(1) = sigma (k parmi n) 1 (k/n) X^k (1-X)^(n-k) =

sigma (k parmi n ) 1 X^k (1-X)^(n-k) = (X+1-X)^n = 1

[ayla8101]

Oui c'est bien ça!
En effet je n'avais pas vu la formule du binome pour f=1! Merci.
j(ai maintenant un pbl pour f=X.
Pourrais tu me dire ce ue tu trouves?
Merci

[fahr451]

il faut utiliser la transformation suivante pour k>0

k (k parmi n ) = n (k-1 parmi n-1) et après décalage d'indice réutiliser le binôme de newton pour n-1 et non n .

et pour X^2

k(k-1) ( k parmi n ) = n(n-1) (k-2 parmi n-2) et rebelote

[ayla8101]

Je n'y arrive pas. Pourrais tu détailler le calcul simplement en developpant la somme qui ne compte que 4 termes?

[fahr451]

n = 3 alors mais le calcul est le même avec n qq

f (X) = sigma ( k parmi n ) (k/n) X^k (1-X)^(n-k) = grâce à la transformation
Xsigma ( k-1 parmi n-1) X^(k-1) (1-X)^(n-1-(k-1)) = changement d 'indice

X sigma (k parmi n-1) X^k (1-X)^n-1-k = binôme

X ( X+1-X)^(n-1) = X