Primitive

[sissous01]

Bonjour à tous. J'ai un DM à faire pour la rentrée. Je l'ai fait mais je ne suis pas sur du tout pour les questions 2 et 3 quand il s'agit de démontrer la dérivabilité et deux fonctions et le fait qu'elles soient constantes... :S

Pourriez-vous me dire si ce que j'ai mis est juste ? merci. ^^

Enoncé :

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = 1/ (1+ x²)

1°) Justifier l'existence et l'unicité d'une primitive F de f sur R telle que F(0)=0
2°) Soit la fonction g deg sur R par g(x) = F(x) + F (-x).
Justifier précisément la dérivabilité de g sur R puis prouver que g est une fonction constante sur R.
Calculer cette constante et en déduire que la fonction F est une fonction impaire.
3°) Soit la foction h définie sur ]0;+infini[ par h(x) = F(x) + F(1/x).
Justifier précisément la dérivabilité de h sur ]0;+infini[ puis prouver que h est constante sur ]0;+infini[

Réponses :
2°) g est la composée de deux fonctions dérivables F(x) et F(-x) sur R (d'après 1°) ) donc g est dérivable sur R.

g'(x) = f(x) + f(-x) = f(x) - f(x) = 0 (ai-je le droit de faire ça ... :S) donc g est constante sur R.
Pour la suite de la question ça va. ^^

3°) la fonction F est dérivable sur R et donc sur ]0;+infini[ donc h est la composée de deux fonctions dérivables sur ]0;+infini[ donc h est dérivable sur cet intervalle.

h'(x) = f(x) + f(1/x) = 1/(1 + x²) + 1/ (1 + (1/x)²) = (1+ x²)/(1+ x²) = 1 donc h est constante sur cet intervalle.

Voilà voilà est-ce que c'est bien justifié ? merci encore pour vos futures réponses. ^^

[Nightmare]

Bonjour !

Pour le calcul de h' est faux.

Es-tu certain de la dérivée de F(1/x) ? :lol3:

[sissous01]

hum...non à vrai dire ! lol ! pour la dérivée de F(1/x) je ne peux pas remplacer f(x) par f(1/x) ? aïe... je dois faire comment alors ? un petit indice ? :hein:

[Nightmare]

Utilise la dérivée d'une composée !