Etude De Fonctions

[Gmma]

Bonjour
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?


I) Soit g la fonction définie sur ]0;+ infini[ par : g(x)=x lnx -x +1 et C sa représentation graphique dans le repère (0;vec i, vec j).

1) Etudier les limites de g en 0 et en + infini.
2) Etudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
3) On note C' la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans le repère (0;vec i, vec j).
Déterminer les points d'intersection des 2 courbes et leurs positions relatives.


II) Soit f la fonction définie sur ]0; + infini[ par f(x)=lnx/(x-1) si x différent de 1 et f(1)=1.

1) Montrer que f est continue en 1. Etudier les limites de f en + infini et 0.
2) Déterminer le sens de variations de f sur ]0;1[ et sur ]1; + infini[.
Dresser, alors, le tableau de variations de f.


III) 1) Quels sont les sens de variations et les limites des suites
(1+1/n) n€N* et (1-1/(n+1)) n€N*?

2) En déduire les sens de variations et les limites des suites (f(1+1/n)) et

(f(1-1/(n+1)).

3) On considère les suites u et v définies sur N* par
un=(1+1/n)^n et vn=(1+1/n)^n+1.

a) Montrer que pour tout n de N*:
ln un=f(1+1/n) et ln vn=f(1-1/(n+1)).
b) Montrer alors que u et v convergent vers e et sont adjacentes.


J'ai fait:
1) lim de g en 0= 1. (car limde xlnx en 0=0).
lim de g en + infini =+ infini.
2) g'(x)=ln x.
g(x) est positif sur ]0;+ infini[.



3) Je trouve sur ]0;1] C au-dessus de ln
sur[1;e] C au-dessous de ln
sur [e; + infini[ C au-dessus de ln.

Pour le II) 1) f est continue en 1 et f(1)=1 donc je devrais trouver que lim de x tend vers 1 de f(x)=1.
Mais je ne trouve pas ça.


Pourriez vous me dire si cela est juste et me donner quelques pistes pour la suite s'il vous plaît?

[Gmma]

:triste: :triste:

[titine]

La première partie est parfaitement juste !

Lim quand x -> 1 de f(x)=1.
En effet f(x) = lnx/(x-1) = (lnx-ln1)/(x-1) et quand x->1 cela donne le nombre dérivé de ln en 1 ...

[fonfon]

salut,

J'ai fait:
1) lim de g en 0= 1. (car limde xlnx en 0=0).
lim de g en + infini =+ infini.
2) g'(x)=ln x.
g(x) est positif sur ]0;+ infini[.

1) ok
2) derivée ok mais tu ne dis rien à propos des variations et oui g(x) est positive sur Df

3) Je trouve sur ]0;1] C au-dessus de ln
sur[1;e] C au-dessous de ln
sur [e; + infini[ C au-dessus de ln.

ok, mais il vaut mieux exclure les bornes des intervalles ]0,1[ ,]1,e[ et ]e,+inf[