Dérivées, 1ère ES

[jeny_]

Bonjour, j'ai quelques exercices à faire pour lundi, et j'aimerai savoir si ils sont "corrects', ainsi qu'avoir quelques pistes pour 1 ou 2 questions :

exercice 1
Soit f définie sur I=]0;+°°[ par f(x)=ax+(b/x), où a et b sont des coeff réels.
- La courbe représentative de f passe par A(1;10)
- La tangente à la courbe de f au point A a pr coeff directeur -8

a) Déterminer les réels a et b
* comme la tangente à la courbe de f a pour coeff directeur -8, alors a = -8
* y=ax+b avec x=1, y=10 et a=-8
10=-8*1+b
10=-8+b
10+8=b
18=b

donc a = -8 et b =18

b) Etudier les variations de f sur I et faire son tableau de variation
* f(x)= -8x+(18/x)

[CENTER]18/x est de la forme g=1/v, donc g'(x)=-18/x²[/CENTER]

donc f'(x)=-8*1-(18/x²)
f'(x)=-8-(18/x²)
f'(x)=(-8x²/x²)-(18/x²)
f'(x)=(-8x²-18)/x²

* signe du numérateur :
trinome avec a=-8, b=0 et c=-18
delta = b²-4ac
delta = 0²-4*(-8)*-(18)
delta = -576
delta0

* pour trouver le signe de f'(x) :
x [CENTER]0[/CENTER] [RIGHT]+°°[/RIGHT]

numérateur [CENTER]-[/CENTER]
-8x²-18

dénominateur [CENTER]+[/CENTER]
x²

f'(x) [CENTER] -[/CENTER]




et donc le tableau me donnerait :

x [CENTER]0[/CENTER] [RIGHT]+°°[/RIGHT]

signe de f'(x) [CENTER]-[/CENTER]

variations de f [CENTER]flèche décroissante[/CENTER]


exercice 2
soit g définie sur [-3;3] par g(x)=(4x+3)/(x²+1)

a) Vérifier que g'(x)=(-4x²-6x+4)/(x²+1)²
là je ne met pas comment j'ai fait pour le calculer car j'ai su le faire

b) Etudier le signe de g'(x) et faire son tableau de variation sur [-3;3]
* signe du numérateur :
polynome du 2nd degré avec a=-4, b=-6 et c=4
delta = b²-4ac
delta = (-6)²-4*(-4)*4
delta = 36+64
delta = 100

delta>0 donc 2 solutions :

x1 = (-b-Vdelta)/2a [RIGHT]x2 = (-b+Vdelta)/2a[/RIGHT]
x1 = (-(-6)-V100)/2*(-4) [RIGHT]x2 = (-(-6)+V100)/2*(-4)[/RIGHT]
x1 = (6-10)/-8 [RIGHT]x2 = (6+10)/-8[/RIGHT]
x1 = -4/-8 [RIGHT]x2 = 16/-8[/RIGHT]
x1 = 1/2 [RIGHT]x2 = -2[/RIGHT]

donc le numérateur est du signe de a (négatif) sauf sur [-2;1/2] où il est du signe de -a, c a d positif

* signe du dénominateur :
positif car (x²+1)² > 0

ensuite, en faisant le tableau, je trouve, pour f'(x) : - + -
donc pour les variations de f : flèche décroissante, croissante et de nouveau décroissante
avec f(-3)=-9/10 ; f(-2)=-1 ; f(1/2)=4 et f(3)=15/10

c) Déterminer 1 équation de la tangente au point d'abscisse 1
on a g(x)=(4x+3)/(x²+1) et g'(x)=(-4x²-6x+4)/(x²+1)²

y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=f'(1)(x+1)+f'(1)

[CENTER]avec
f'(1)=(-4-6+4)/4
f'(1)=-3/2
et
f(1)=(4*1+3)/(1²+1)
f(1)=7/2[/CENTER]

donc
y = -3/2(x+1)+7/2
y = -3/2x + 3/2 + 7/2
y = -3/2x + 10/2
y = -3/2x+5





exercice 3
soit f définie sur I=]-2;+°°[ par f(x)=2/(x+2)
la courbe de f dans un repère de plan est Cf

a) calculer f'(x)
fonction f=u/v, donc f'= (u'v-uv')/v²
[CENTER]avec u=2, u'=0, v=x+2 et v'=1[/CENTER]

donc f'(x) = (0(x+2)-2*1)/(x²+1)²
f'(x) = -2/(x²+2)²

b) en quel point de Cf la tangente a t-elle pour coeff directeur -1/8?
pouvez vous me dire comment je dois fonctionner pour répondre à cette question ?

c) écrire une équation de la tangente (T) à Cf au point A d'abscisse -1

y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = f'(-1)(x+1)+f(-1)

[CENTER]avec f'(-1)=-2/(-1+2)²
f'(-1)=-2/1²
f'(-1)= -2
et
f(-1)=2/(-1+2)
f(-1)=2/1
f(-1)=2[/CENTER]

donc
y=-2(x+1)+2
y=-2x-2+2
y=-2x

d) montrer que pour tout point x de D, f(x)-(-2x) = (2(x+1)²)/(x+2)
en déduire que Cf est au dessus de (T) sur D
pouvez vous m'éclairer pour cette question ?


merci pour vos réponses

[sum87]

Tu sais f(x)=ax+b/x , f passe par (1,10) et f'(1)=8.

On a f(1)=10 (coordonnées de A)
<=> a*1+b/1=10
<=> a+b=10

Ensuite, f'(x)=a-b/x² et f'(1)=-8 <=> a-b=-8

En faisant le system suivant tu trouve a etb :
a+b=10 (1)
a-b=-8 (2)
(1) +(2) <=> a=1
et donc b=9.