Nombre d'or

[pucca]

bonsoir!! voila je suis en 1ere ES et je peche sur un exercice. pouvez vous m'aider?

énoncé: soit (Un) la suite récurrente définie sur N par: U0= 0 et Un+1=1+(1/Un) et la fonction numérique f définie par: f(x)=1+(1/x)
On dit qu'un nombre réel x est un point fixe pour une fonction f lorsque
f(x)=x
1) démontrer que la fonction f admet 2 points fixes de signe contraire dont l'un est le nombre d'or D
2) démontrer que, pour tout entier naturel , si Un est suppérieur ou égal à 1 alors Un+1 est suppérieur ou égal à 1.
3) en déduire que la suite (Un) est minorée par 1.
4) Sans utiliser la valeur exacte de D, démontrer que pour tout entier naturel n
Un-D= (D-Un+1)/(D*Un+1)
5) en déduire que pour tout entier naturel n: valeur absolue de (Un-D) est inférieur ou égal à valeur absolue de (Un-D) divisé par (D puissance n)
6) démontrer que pour tout entier naturel n: valeur absolue de (Un-D) est inférieur ou égal à (2/3) puissance n
7) en déduire que la suite converge vars un réel I que vous déterminerez.

[annick]

Bonjour,
Et alors toi, qu'as-tu commencé à chercher?

[maturin]

1) suffit de poser l'équation f(x)=x et de résoudre
2) un>1 => un+1>1 c'est évident suffit d'écrire ce qu'est un+1
3) on complète la récurrecne en calculant u1 et la récurrence dit que la suite un est minorée par 1 pour n>=1 (c'est faut pour n=0)
4) D est défini par D=f(D) donc calcule (D-Un+1)/(D*Un+1) et en simplifiant tu devrait trouver ce qu'il faut.
5) une petite récurrence
6) une autre petite récurrence
7) vers quoi la suite |un-D| converge-t-elle ? donc vers quoi converge un ?