TS Spé maths: PPCM

[Adi3000]

bonjour a tous
Une question qui me titille depuis au moins trois jour (a repondre pour dans deux semaine, mais elle me prend trop la tete et je veux avoir la reponse lol)

"Que devient le PPCM de deux nombre quand on multiplie l'un de ces nombre par un nombre premier avec l'autre?"

J'ai avancé mais je sais pas dans quel sens:

Soit a et b deux nombres naturels
Soit k un nombre premier avec b

PPCM(k;b) x PGCD (k;b) = PPCM (k;b) = kb
PPCM (ka;b) = m; m x PGCD (ka;b) = mp = kab
PGCD(a;b) = p' ; PPCM (a; b) = m'

kab x kb = mp x m'p'
kab = m
p x p'm'


de quoi j'en tire

kb = m
a x p

Enfin bref j'en tire une conclusion non fluctuante, de plus l'arithlmetique n'est pas mon fort.

Si quelqu'un veut m'aider ce dm est pour la semaine prochaine

Merci

PS : ne vous pressez pas pour repondre je ne suis pas souvent devant le forum, je suis plutot en pleine revision...
Ou sinon si quelqu'un peux par la meme occasion m'indiquer s'il y a des balise sur le forum permettant des fraction parce que la je me susi debrouiller comme je pouvais. Merci

[maturin]

intuitivement tu peux trouver que ppcm(ac,b)=c*ppcm(a,b) si c premier avec b.

une définition du ppcm est :

ppcm(a,b)=k
si et seulement si il existe a' et b' premiers entre eux tel que k=a*a' et k=b*b'

tu veux montrer ppcm(ac,b)=ck si c premier avec b.
tu as kc=ac*a' et kc=b*cb'

il te reste donc à montrer que a' et cb' sont premiers entre eux.

tu as aa'=bb'
c premier avec b donc c non premier avec a' impliquerait c non premier avec b' hors a' et b' sont premier donc c'est impossible (sauf cas c=1 qui est trivial)
donc c premier avec a' donc cb' premier avec a'. Donc tu as ce que tu cherches.

désolé ma rédaction est pas très belle mais bon ça remonte un peu ce genre d'exo :)

[Adi3000]

donc c premier avec a' donc cb' premier avec a'.

J'ai un petit souci avec cette deduction, a vrai dire je ne suis pas un boss en arithmetique , je ne parvient jamais a trouver le bon raisonnement... :briques:

[maturin]

ben c premier avec a' et b' premier avec a' donc cb' premier avec a'.

b' premier avec a' vient de tes hypothèses.