Preuve compliquée d'une exercice

[Guillermo]

Bonjour à tous,
Voici un théorème : "If x is an arbitrary real number, prove that there are integers m and n such that m < x < n."
J'imagine que certains vont trouver que cette preuve donnée par mon livre est compliquée :
"x ∈ R so ∃n ∈ Z+ such that n > x (Theorem n°1).
Set of negative integers is unbounded below because
If ∀m ∈ Z−, −x > −m, then −x is an upper bound on Z+. Contradiction of Theorem n°1. ⇒ ∃m ∈ Z such that m < x < n."
Theorem n°1 : "For every real x there exists a positive integer n such that n > x."
J'avoue que je n'y comprend rien... Pourquoi diable considérer "-x" et "-m" ?
En soi, il est facile de trouver qu'il existe un n tel que x < n grâce au théorème n°1.
Là où les choses se compliquent, c'est de trouver un entier m tel que m < x...
Merci d'avance de votre aide !

[Ben314]

De nouveau, je trouve la démarche pas futée . . .
Si est un réel alors est aussi un réel donc, en vertu du théorème 1, il existe un entier M tel que -x<M donc tel que x>-M (c'est à dire x>m avec m=-M).