Equation différentielle compliquée

[aymanemaysae]

Bonsoir;

Quant à résoudre l'équation obtenue, je redis encore que ce n'est pas à la portée de tout le monde (y compris moi, et sauf bien sûr Messieurs les professeurs), car sa résolution n'est pas directe et c'est tout une démarche qui utilise les formules de Binet et un changement de variables pour obtenir à la fin r en fonction de theta au lieu de r en fonction de t : en somme, un passionnant chapitre de cours.

[Robot]

On sait donc que est constant, appelons cette constante.

On a aussi

.

L'astuce est effectivement de travailler avec comme fonction de . Sachant ça, on calcule puis en utilisant et on aboutit sans difficulté, à partir de , à l'équation



Quand on en est là, la messe est dite. Il n'y a pas de quoi en faire tout un plat.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Merci M.Robot , c'est la première fois que j'arrive à assimiler tout le cheminement de la résolution de l'équation de mouvement des planètes: je la savais par cœur, mais quant à saisir le sens de chaque étape, je ne faisais que ressasser ce que j'avais appris.

Merci.

[kelthuzad]

Cool Robot, merci beaucoup

[Robot]

Avec plaisir.

[kelthuzad]

Avec plaisir.

J'arrive pas encore exactement à ce que je veux, cette éq diff nous donne u en fonction de theta. Et je cherche toujours r et theta en fonction de t, du coup voici mon raisonnement et je bloque à nouveau un peu plus loin :

L'eq diff devient :



Si je résous de manière classique, ça me donne :



Maintenant je voudrais theta en fonction de t, donc une ligne avec que du theta, je vois comment faire mais on va tomber encore sur une eq diff que je ne sais pas résoudre >,< allons-y :

On avait vu que (ligne 2 du système trouvé plus tôt dans le topic)

Si on travaille avec u, on devrait pouvoir l'écrire :
(*)

Bon là on a bien une ligne avec que du théta car on a u(theta) plus haut.
Simplement pour u point, j'utilise le fait que :


Je bloque à nouveau ici, (*) donne une eq diff avec plein de cos(theta) et sin(theta).... >,<
Suis-je sur la bonne voie ?

Merci encore

[kelthuzad]

Je me permets de up, me mettez pas en prison !!

[Skullkid]

En fait tu as "fini" quand tu as exprimé u (ou r) en fonction de . Traditionnellement on écrit la solution sous la forme en choisissant un repère adapté.

Après, malheureusement tu ne pourras pas exprimer r et en fonction de t. Tout ce que tu peux faire c'est exprimer des solutions approchées ou calculer une solution numériquement.

[kelthuzad]

D'accord, mais je trouve étonnant qu'on ne puisse pas déterminer la position du satellite à n'importe quel instant t, la nasa doit bien savoir le faire

[Skullkid]

On sait approcher la solution avec une précision aussi bonne qu'on veut en faisant une résolution numérique. C'est ce que fait la NASA.

Globalement il y a très peu d'équations différentielles qu'on sait résoudre exactement, mais heureusement on peut souvent se contenter d'une approximation de la solution.

[aymanemaysae]

Bonjour;
On peut faire un tour chez l'Agence spatiale européenne , qui est aussi performante que la NASA , et pour voir plus clair je vous invite à visiter le site de l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides ou faire un saut sur ce lien .

[kelthuzad]

D'accord, merci encore de vos réponses. C'est assez marrant car on peut déterminer la position en fonction de t d'un objet qui tombe sur terre en prenant une force constante F=P=mg mais dès l'instant où cette force dépend de la position on n'arrive plus à déterminer une expression de la position en fonction de t...

[aymanemaysae]

D'accord, merci encore de vos réponses. C'est assez marrant car on peut déterminer la position en fonction de t d'un objet qui tombe sur terre en prenant une force constante F=P=mg mais dès l'instant où cette force dépend de la position on n'arrive plus à déterminer une expression de la position en fonction de t...

Bonjour;

d'abord, je félicite tous mes amis qui ont réussi leur CNC Marocain (GA et ADO) et bonne chance aux "Admissibles" : fini le stress des "Classes-Prépa" et vivement une "Grande Ecole d'Ingénieurs" tout près de la maison.

En ce qui concerne votre remarque, l'étude qu'on a faite était seulement une étude pour deux corps qu'on a supposés être les deux seuls corps de l'univers, et on obtient l'équation donnée.

Contrairement à une idée répandue, le problème à trois corps possède une solution analytique exacte, découverte par Karl Sundman en 1909.

En réalité, l'univers ne contient pas seulement deux ou trois corps, main une infinité de corps qui interagissent entre-eux, donc la somme des masses dont la force gravitationnelle agit sur la masse qu'on étudie ne peut être exactement obtenue, d’où les différentes méthodes pour l'approcher.

Un autre lien pour approfondir votre étude du problème.

[kelthuzad]

A priori il n'y a pas de rapport direct entre l'impossibilité de trouver une expression exacte pour 2 corps et le fait que ce système n'existe pas dans l'univers. Comme toute formule on est d'accord que ça serait une idéalisation mais elle doit bel et bien exister car il y a bien une solution exacte à l'eq diff trouvée plus haut, non ? (je veux dire même si elle n'est pas connue aujourd'hui)

Admettons deux étoiles dépourvues de planètes dans une sphère de plusieurs al de rayon ne contenant pas d'autres masses significatives, cette solution exacte à 2 corps décrirait très bien la réalité, au même titre que le projectile sur la lune avec les équations de Newton, tu vois ce que je veux dire ?

[kelthuzad]

Merci pour le lien