Axiome sur les nombres réels

[Guillermo]

Bonjour à tous !
Je ne comprends pas entièrement la preuve d'un théorème de mon livre de math, quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?
Voici deux théorèmes, puis la preuve du 2e théorème :

Theorem 1.1. Cancellation law for addition : If a + b = a + c, then b = c.
Theorem 1.2. Possibility of subtraction : Given a and b, there is exactly one x such that a + x = b.
Proof of 1.2 : Given a and b, choose y so that a + y = 0 and let x = y + b. Then a + x = a + (y + b) = (a + y) + b = 0 + b = b. Therefore there is at least one x such that a + x = b. But by Theorem 1.1 there is at most one such x. Hence there is exactly one.

Je ne comprends pas la phrase en gras... Je comprends que la preuve permet de montre qu'il existe au minimum un x tel que a + x = b, mais je ne comprends pas en quoi le théorème 1.1 permet de montrer qu'il existe au maximum un x tel que a + x = b...
Merci de votre aide!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Le théorème 1.1 te dit que s'il y en a deux, alors ces deux sont égaux ...

[Guillermo]

Désolé mais je n'ai toujours par compris...
Le théorème 1.1 c'est : a + b = a + c.
La preuve du théorème 2.2 c'est : a + x = b.
Tu vois bien que les deux formules que j'ai surligné en gras sont différentes, je ne vois pas le rapport entre elles...

[LuiLui]

S'il y a un 2ème x, notons le x' tel que a+x'=b
alors : a+x=b=a+x' c'est à dire a+x=a+x' d'après le th1 alors x=x'.

[Guillermo]

Merci !! J'ai compris!