Question sur l'axiome d'extention précisée

[gaphi]

Bonjour
Pourquoi il y a une implication entre ∀x x∈A⟺x∈B et A=B et non pas une équivalence?
Merci

[GaBuZoMeu]

Pourquoi n'as-tu pas continué dans ce fil en postant un nouveau message ?

Une des implications (celle de droite à gauche) est une trivialité logique concernant l'égalité : si deux ensembles sont égaux, alors ils ont les mêmes éléments. De manière générale, pour tout prédicat P, si a=b alors P(a) est équivalent à P(b).
On ne se donne donc pas la peine de l'écrire, on écrit juste l'implication de gauche à droite, c'est la seule qui a un contenu en tant qu'axiome de la théorie des ensembles et qui parle des propriétés de la relation d'appartenance : si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont égaux.
Mais il y a bien sûr équivalence.

[gaphi]

Merci de ton explication qui n'est pas précisée dans les cours que j'ai lus.

[GaBuZoMeu]

Ce n'est pas précisé parce que ça semble couler de source. Mais ta question montre que ce n'est peut-être pas le cas pour tout le monde.