Logarithme

[Eula]

Bonjour,

je suis en terminale avec spé mathématiques.
j'ai mon grand oral dans deux jours mais je ne comprends toujours pas quelque chose.

pourquoi ln(1+t) ≈ t ?

si quelqu'un peut m'aider...

merci d'avance

[Black Jack]

Bonjour,

Tel quel, sans conditions ... c'est faux.

Cette approximation n'est vraie que pour t aux alentours de 0

[lyceen95]

J'ai envie de répondre par une autre question :
Sais-tu pourquoi sin(t)≈t ? (avec les même réserves que ce que disait Black Jack bien entendu)
Sais-tu pourquoi exp(t)≈1+t ? (avec les même réserves que ce que disait Black Jack bien entendu)
Etc etc
As-tu en tête une fonction, et une propriété de ce genre, où tu as compris pourquoi on peut faire l'approximation ?

Si tu sais pourquoi c'est vrai dans les 2 cas ci-dessus, alors tu as pratiquement la réponse à ta question.
Si tu ne sais pas pourquoi c'est vrai dans ces 2 cas, alors on a une piste pour savoir où est le chainon manquant.

[hdci]

A noter toutefois : au lycée, on ne fait pas ces approximations (on ne voit pas les développements limites, les équivalences, etc.).

Par contre, quand on dit "t proche de zéro", cela signifie concrètement que "t tend vers zéro".

Donc indication : si vous divisez par t, vous obtenez quelle approximation ?
Or la fraction obtenue vous fait penser à quelle notion du programme que vous avez vue en première ?

[catamat]

Bonjour

Si on trace les deux fonctions on obtient ceci : (ce qui doit te rappeler une notion vu en première)

[mathelot]

bonsoir,
on va expliquer ce qu'est la meilleure approximation affine
Considérons une fonction définie dans un voisinage de a (a réel) et dérivable en a:

on a


d'où


donc la fonction , notée epsilon , définie par

a pour limite zéro quand x tend vers a.

d'où , de
on tire , en multipliant les deux membres de l'égalité par x-a,



d"où

l'expression est une fonction affine de la variable x et elle approche f(x)
quand x tend vers a.

on note
en négligeant le terme qui tend "doublement" vers zéro

application
en posant et , il vient

[Eula]

Bonjour,

Tel quel, sans conditions ... c'est faux.

Cette approximation n'est vraie que pour t aux alentours de 0

Oui en effet dans mon exercice t est compris entre 0 et 0,1
merci

[Eula]

J'ai envie de répondre par une autre question :
Sais-tu pourquoi sin(t)≈t ? (avec les même réserves que ce que disait Black Jack bien entendu)
Sais-tu pourquoi exp(t)≈1+t ? (avec les même réserves que ce que disait Black Jack bien entendu)
Etc etc
As-tu en tête une fonction, et une propriété de ce genre, où tu as compris pourquoi on peut faire l'approximation ?

Si tu sais pourquoi c'est vrai dans les 2 cas ci-dessus, alors tu as pratiquement la réponse à ta question.
Si tu ne sais pas pourquoi c'est vrai dans ces 2 cas, alors on a une piste pour savoir où est le chainon manquant.

D'accord merci je vais réfléchir à partir de cela

[Eula]

A noter toutefois : au lycée, on ne fait pas ces approximations (on ne voit pas les développements limites, les équivalences, etc.).

Par contre, quand on dit "t proche de zéro", cela signifie concrètement que "t tend vers zéro".

Donc indication : si vous divisez par t, vous obtenez quelle approximation ?
Or la fraction obtenue vous fait penser à quelle notion du programme que vous avez vue en première ?

On obtient ln(1+t)/t ≈ t/t donc 1
et si on fais la limite on a lim t->0 ln(1+t)/t = 1
les deux concordent. est-ce bien ça ?

merci beaucoup !

[hdci]

On obtient ln(1+t)/t ≈ t/t donc 1
et si on fais la limite on a lim t->0 ln(1+t)/t = 1
les deux concordent. est-ce bien ça ?

merci beaucoup !

Attention à ne pas inverser le raisonnement : montrer que ln(1+t) est proche de t, cela revient à montrer que ln(1+t)/t est proche de 1.

Mais pourquoi ln(1+t)/t est-il proche de 1 ? Autrement dit, pourquoi lim(ln(1+t)/t)=1 ?

Il faut donner un argument ici, et cet argument a trait à une notion vue en première, la même d'ailleurs que celle décrite par mathelot et par catamat.

Si vous ne "voyez" pas, remplacez alors la lettre t par la lettre h, car c'est sûrement avec un "h" que vous avez vu la définition de cette notion en première.

Et si vous ne voyez toujours pas, écrivez ln(1+h)/h = (ln(1+h)-ln(1))/h : quand h tend vers zéro, le résultat est... ?

(PS : pour sin(t), e^t-1 etc. c'est exactement le même raisonnement.

[Eula]

bonsoir,
on va expliquer ce qu'est la meilleure approximation affine
Considérons une fonction définie dans un voisinage de a (a réel) et dérivable en a:

on a


d'où


donc la fonction , notée epsilon , définie par

a pour limite zéro quand x tend vers a.

d'où , de
on tire , en multipliant les deux membres de l'égalité par x-a,



d"où

l'expression est une fonction affine de la variable x et elle approche f(x)
quand x tend vers a.

on note
en négligeant le terme qui tend "doublement" vers zéro

application
en posant et , il vient

Merci beaucoup pour cette super explication !!
Cela me semble plus clair

[Eula]

On obtient ln(1+t)/t ≈ t/t donc 1
et si on fais la limite on a lim t->0 ln(1+t)/t = 1
les deux concordent. est-ce bien ça ?

merci beaucoup !

Attention à ne pas inverser le raisonnement : montrer que ln(1+t) est proche de t, cela revient à montrer que ln(1+t)/t est proche de 1.

Mais pourquoi ln(1+t)/t est-il proche de 1 ? Autrement dit, pourquoi lim(ln(1+t)/t)=1 ?

Il faut donner un argument ici, et cet argument a trait à une notion vue en première, la même d'ailleurs que celle décrite par mathelot et par catamat.

Si vous ne "voyez" pas, remplacez alors la lettre t par la lettre h, car c'est sûrement avec un "h" que vous avez vu la définition de cette notion en première.

Et si vous ne voyez toujours pas, écrivez ln(1+h)/h = (ln(1+h)-ln(1))/h : quand h tend vers zéro, le résultat est... ?

(PS : pour sin(t), e^t-1 etc. c'est exactement le même raisonnement.

la limite de (ln(1+h)-ln(1))/h quand h tend vers zéro est de 1 . car (f(a+h)-f(a))/ h =f'(a) donc ici ln'(1)=1/1=1

dans mon exercice ln(1+h) ≈ h, tout est multiplié par h !

merci !!

[lyceen95]

Quand 2 nombres sont égaux, si on les multiplie par h, les nombres obtenus sont égaux aussi.
Quand 2 nombres sont presque égaux, si on les multiplie par h, les nombres obtenus sont presque égaux aussi.

Donc, si dans ton exercice tout est multiplié par h, ce n'est pas une erreur ni un problème...

[mathelot]

Bonjour,

L'important quand on écrit quand t tend vers zéro,ce n'est pas que les fonctions soient proches l'une de l'autre mais qu'elles soient équivalentes dans la recherche de limite de produits ou de quotients, i. e,, que l'on puisse les échanger, les intervertir.