Démonstration logarithme

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lapras
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Démonstration logarithme

par lapras » 21 Aoû 2007, 19:33

Bonsoir,
je cherche à démontrer un des premiers théoremes sur le logarithme népérien :
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
on sait que ln(e^(a)) = a donc ln(e^(a) * e^(b))= ln(e^(a+b)) = a + b = ln(e^a) + ln(e^b)
on pose A = e^a et B = e^b
donc
ln(A*B) = ln(A) + ln(B)


Voila pour la petite démo....
je voulais juste etre sur de sa validité (je sais c'est ma période de démonstration en ce moment)
:zen:



Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 19:35

Bonjour,

oui c'est bon si l'on considère le logarithme comme la réciproque de l'exponentielle. Comment ferais-tu sinon si l'on définissait cette fonction comme la primitive de x->1/x qui s'annule en 1 ?

kazeriahm
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par kazeriahm » 21 Aoû 2007, 19:36

oui c'est bon, enfin c'est pas très propre mais c'est l'idée

proprement ca donne :

soient a et b deux réels strictements positifs

la fonction exponentielle est bijective de R dans R+* donc il existe A et B deux réels tels que a=e^A et b=e^B.

Alors ln(a*b)=A+B=ln(a)+ln(b)

oscar
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par oscar » 21 Aoû 2007, 19:41

Bonjour C' est correct

de ^m pour ln(a/b) = lna-lnb (a/b = a^m/a^n = a^m-n
ln a^m =m ln a( a^m = a*a*a....a m facteurs a)

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:12

merci pour la confirmation !
Nightmare :
Moi je comparerais log(ab)' et log(a)+log(b)'
C'est pas bon ?

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:35

C'est quoi ton prime? La dérivée?

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:38

Oui c'est bien la dérivée.
Mais j'ai pas encore réfléchi beaucoup,
si c'est pas ca donne moi juste une indication stp

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:41

Hum je ne sais pas, il faut que tu développes ta pensée. Et tu dérives par rapport à quoi?

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:45

Tu mas demandé de, a partir du fait que la dérivée de ln(x) soit 1/x et que log(1) = 0, prouver que ln(a*b) = ln(a) + ln(b).
Je dirais qu'on dérive :
b : constante
a=variable

ln(a*b)' = b * 1/(ab) = 1/a
les dériv"ées de log(ab) et de log(a) sont égales
donc ln(a*b)= ln(a) + C
C constante
ln(1*b) = ln(1) + C
ln(b) = C

CQFD

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:51

Mais la dérivée par rapport à quelle variable? Et ce n'est pas parce que deux fonctions ont la même dérivée qu'elles sont égales. Elles sont égales à une constante près

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:52

Voir mon édit ;)

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:53

Cela n'arrange rien... De plus tu mélanges log et ln qui ne sont pas les même fonctions!

anima
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par anima » 21 Aoû 2007, 22:55

Nightmare a écrit:Cela n'arrange rien... De plus tu mélanges log et ln qui ne sont pas les même fonctions!

A un ln10 pres >_>

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:55

OUPS je voulais dire ln et non log
sinon, je ne vois pas l'erreur,
j'ai bien dit que log(ab) et log(a) était différent à une constant pret.

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:56

Ce que je veux savoir, c'est par rapport à quelle variable tu dérives...

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 22:56

je l'ai indiqué !
Par rapport à la variable 'a'

Nightmare
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par Nightmare » 21 Aoû 2007, 22:59

Désolé je n'avais pas vu, voila le problème avec les édits. Dans ce cas là c'est bon, mais préfère toujours mettre un x ou un y pour une variable, même si la lettre est muette, cela facilite grandement la compréhension et évite les étourderies.

lapras
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par lapras » 21 Aoû 2007, 23:00

Ok nightmare je retiens.
A+

lapras
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par lapras » 22 Aoû 2007, 12:26

Good morning all ;

j'aimerais bien démontrer que :
lim(x*ln(x)) = 0
x->0
x>0
x*ln(x) = e^(ln(x))*ln(x)
Posons y=ln(x)
e^y*y = x*ln(x)
quand x tend vers 0, ln(x) tend vers -OO

or lim(e^x * x) = 0
x->-OO
donc
lim(x*ln(x)) = 0
x->0
x>0
Il y a d'autres méthode je pense mais j'ai choisis celle ci, est-elle bonne ?

Nightmare
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par Nightmare » 22 Aoû 2007, 14:25

Oui mais attention encore à la rédaction.

Par exemple la ligne "e^y*y = x*ln(x)" n'est pas à écrire !

 

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