Matrices inversées

[kaisa01]

Bonjour, je ne vois pas comment répondre à cette question, est ce possible d’avoir une réponse assez détaillée svp ? (les lettres majuscules représentent des matrices)

Soit A appartenant à Mn,n (R) et X appartenant à Mn,1 (R), une matrice colonne inconnue.

Montrer que A est inversible si et seulement si le système d’équation traduit matriciellement par AX=B a au moins une solution quel que soit B appartenant à Mn,1 (R).

Je sais traduire des systèmes d’équation en systèmes matriciels, mais je ne vois pas comment procéder ici.
Merci d’avance

[hdci]

Bonjour,

Pour l'implication directe c'est immédiat : si A est inversible alors AX=B admet au moins une solution (en fait unique) qui est X=A^(-1)B

Pour la réciproque, A représente la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée. Si l'image d'une base est une base, alors l'endomorphisme est un isomorphisme et A sera inversible
Essayez de travailler sur cela (par l'absurde : l'image d'une base n'est pas une base, que peut-on en déduire, et peut-on alors construire un vecteur sans antécédent).

Au passage: est-on vraiment dans la rubrique "lycée" ?

[kaisa01]

Bonsoir,
merci pour votre réponse, mais je ne connais pas du tout cette notion d’endomorphisme et d’isomorphisme.
Je sais que pour qu’une matrice soit inversible, il faut qu’en la multipliant par son inverse, cela produise la matrice identité.

Je suis bien au lycée, en maths spé maths expertes, l’équivalent de l’ancienne S spé maths..