Fonction paire, impaire, bornée...

[thomtess]

bonjour, actuellement en post bac je souhaite passer un concours nv bac mais les maths c'est un peu loin (pas tellement ca fait même pas un an, mais toujours est-il que ce n'est plus la!) et je suis complètement bloquée sur des annales de ce concours:
soit la fonction f définis sur R par f(x)= 1/(x^2 + x + 1) est:
A) paire B) impaire C) bornée D) aucune des réponses précédentes n'est juste

pour la A):
une fonction est paire si f(x) = f(-x) (si je ne me trompe pas...):
donc ici elle n'est pour moi pas paire car on a un x seul (pas multiplié ni divisé, ni au carré) qui va devenir négatif: f(x)= 1/(x^2 + x + 1)
f(-x) = 1/[(-x)^2 - x + 1] = 1/(x^2 - x + 1) ≠ f(x) c'est ca ?

pour la B):
une fonction est impaire si f(x) = - f(x) (si je ne me trompe pas la encore...):
donc ici elle n'est pour moi pas impaire car:
f(x)= 1/(x^2 + x + 1)
- f(x) = -1( 1/[x^2 + x + 1]) = - 1/(x^2 + x + 1) ≠ f(x) c'est ca ?

pour la C) la je bloque...
je sais qu'une limite est bornée si elle possède un minorant et un majorant
mais je n'y arrive pas pouvez-vous m'aider svpppp

d'avance merci

[catamat]

Bonjour, dans ce genre de concours la rapidité est capitale..

Pour la parité il est bon de calculer un exemple qui peut servir de contrexempleet prouver rapdement que f n'est ni paire ni impaire.

f(1)=1/3 et f(-1)=1

On a justifié que f n'est ni paire ni impaire

Pour le fait qu'elle est bornée , une étude rapide du signe peut servir... du moins pour une des deux bornes.

ici la forme canonique du dénominateur est (x+1/2)²+3/4
C'est strictement positif dans f>0 , donc f est minorée par 0.

Pour majorer f, il faut minorer le dénominateur donc minorer (x+1/2)² par sa plus petite valeur qui est 0.
Donc pour tout réel x , (x+1/2)²+3/4 >=3/4 et donc f(x) <=4/3.

f est donc bornée puisque 0 < f <= 4/3

[thomtess]

okayyy, effectivement ca va bien plus vite, juste pour la forme canonique, sur le fond j'ai compris le raisonnement mais pour ces formes canoniques je me souvient juste qu'il faut obtenir une forme a(x - ⍺)^2 + ß mais je ne comprend absolument pas comment vous avez trouver ce résultat, pourriez vous juste me détailler un petit peu ce calcul, je suis désolé

d'avance merci

[catamat]

Si on a x²+px+q
On divise p par 2 car x²+px est le début du développement du carré de (x+p/2)
mais (x+p/2)² = x² +px +p²/4
donc x²+px = (x+p/2)²-p²/4

et x²+px+q = (x+p/2)²- p²/4 + q

par ex x²+5x+9 = (x+5/2)²-25/4+9 = (x+5/2)² + 11/4

[thomtess]

vraiment merci !!!!