Bonjour,
C'est plutôt M qui est la tribu et A un élément de M (donc une partie mesurable).
Il faut en fait démontrer que pour toute famille
_{n\in\N})
d'éléments de M deux à deux disjoints, on a
=\sum_{n\in\N}\mu(E_n))
Comme f est à valeur positive, la somme des f(x) existe (et est éventuellement infinie) et l'ordre de la somme n'importe pas (si la somme est finie c'est une série absolument convergente et on sait alors que l'ordre des termes est sans importance, et si la somme est infinie on montre aisément que toute permutation donne également l'infini) . Il s'en suit qu'on a bien l'égalité.
Le fait que la mesure de l'ensemble vide soit nul n'est pas dans la définition, c'est une conséquence de la définition (si on prend
on a bien deux ensembles disjoints donc la mesure de la réunion est la somme des mesures, ce qui implique la nullité).
Ceci dit, votre raisonnement sur "il n'y a aucun élément à ajouter donc la somme est vide" est correct (par définition du sigma)
Enfin, dernière remarque : je parle de série convergente ou non, mais cela suppose que les ensembles soit dénombrables. Il faudrait examiner le cas où l'un au moins des
n'est pas dénombrable.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.
