Espérance conditionnelle, matingale, espace mesurable

[moulinsValbonne]

Bonjour, est-ce que quelqu'un peut m'aider ? s'il vous plaît j'arrive pas du tout avec cet exercice, le voici :

On considère que X_k est le résultat de k-ième tirage d'un jeu de pile ou face (ou d'un jeu équilibré au casino), et on suppose que le joueur peut miser une quantité de son choix avant chaque tirage.
1) Justifier que sa fortune Z_k après k-ième tirage est donnée par
Z_k = z + M_1(X_1) + ... + M_k(X_k),
où z est la richesse initiale et M_i est la mise du i-ième tirage.

{X_1 = epsilon1, ... , X_k = epsilonK} où epsilon1, ..., epsilonk appartient à {-1, 1}
F_k = sigma(X_1, ... , X_k)

2) Justifier que M_k est F_k-1 - mesurable
Remarque: le processus (Z_k) est l'équivalent de l'intégrale d'Itô de (M_k) par rapport à (S_k), où S_k = X_1 + ... + X_k

3) On suppose également que M_k est borné pour tout k >= 1
Montrer que E(Z_k+1 | F_k) = E(Z_k+1 |Z_k) = Z_k
Que vaut E(Z_k+n | F_k) ? E(Z_k) ? Que peut-on en déduire sur le gain que le joueur peut espérer ? On dit que (Z_k) avec k>=1 est une martingale.

Précisions : les under score signifie que c'est en indice, exemple Z_k "lire Z indice k"

Merci d'avance !