Suites géométriques

[arkovvvv]

Bonjour, je bloque sur mon dm pour demain. Voici l'énoncé:

Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement. Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier. Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis : 10% des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6% des abonnés à la version numérique passent à la version papier.
On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.
On note an la proportion d'abonnés ayant choisi la version papier en 2010+n et bn la proportion d'abonnés ayant choisi la version numérique en 2010+n

1) Justifier que a0 = 1, b0 = 0 et pour tout entier naturel n a(n+1) = 0.9an+0.06bn

2) En déduire que pour tout entier naturel n a(n+1) = 0.84an+0.06
Je bloque au niveau de cette question, je pense qu'il faut que je fasse une récurrence mais je n'arrive pas à prouver l'hérédité, pour le moment j'ai : Initialisation: a1 = 0.9*a0+0.06*b0 = 0.9*1+0.06*0 = 0.9 et a1 = 0.84*a0+0.06 = 0.84*1+0.06 = 0.9. P1 est vraie

3) Soit cn la suite définie par cn = an - 0.375
a) Montrer que la suite cn est géométrique
b) En déduire l'expression de cn, puis de an, et bn en fonction de n
c) Déterminer la limite de la suite an

Je bloque à partir de la question 3a. Je ne vois pas comment prouver que cette suite est géométrique, car il me semblait que les suites géométriques comportaient une multiplication mais je ne vois qu'une soustraction..

Merci d'avance pour votre aide

[Roc]

Bonjour,

A la question 2, tu peux faire autrement pour prouver l'expression a(n+1) = 0.84an +0.06 :
L'énoncé te dit en effet que "le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps", Donc :

an + bn = ?

[arkovvvv]

an + bn = 1 ?
Cependant mon dm est sensé contenir une relation par récurrence et à part dans cet exercice, je ne vois pas où m'en servir ! mais si votre methode est plus simple et fonctionne, je suis preneur

[Roc]

Oui c'est ça car la population d'abonnés reste la même.
Comme an + bn = 1 alors bn = .... et après tu sais quoi faire ...

[arkovvvv]

bn = 1 - an ?
Je ne vois pas vraiment..

[Roc]

Oui ensuite tu remplace dans l'expression de a(n+1)

[arkovvvv]

a(n+1) = 0.9 * an + 0.06 * (1-an)
a(n+1) = 0.9 * an + 0.06 - 0.06an
a(n+1) = 0.84 * an + 0.06

Merci beaucoup !
Par rapport aux questions suivantes, pourriez vous m'aiguiller si cela ne vous dérange pas ?

[Roc]

Voyons tu as fais tout le travail Alors pour la suite :

Tu as dû voir que pour prouver qu'une suite Un est géométrique, il suffit de calculer U(n+1)/Un et de trouver comme résultat un nombre. Ce nombre représente en fait la raison de la suite géométrique.

[arkovvvv]

En effet, je dois donc trouver a(n) par récurrence ? ou d'une autre manière ?

[Roc]

Tu parles de la question 2 ? Si c'est le cas, sache qu'il n'y a pas besoin de le faire par récurrence.

[arkovvvv]

Non non je parle bien de la question 3)a), la question deux est terminée non ?

[Roc]

Oui autant pour moi, à cette question pour prouver qu'une suite Cn est géométrique, il suffit de calculer C(n+1)/Cn et de trouver comme résultat un nombre. Ce nombre représente en fait la raison de la suite géométrique.

[arkovvvv]

J'imagine donc que c(n+1) = a(n+1) - 0.375 = 0.84 * an + 0.06 - 0.375 ?
Comment calculer ce quotient puisque la suite cn dépends d'une autre suite et non pas seulement de nombres réels ?

[Roc]

Comme tu peux le voir dans leurs expressions : Cn ne dépend que de an, tout comme C(n+1). Donc le quotient des 2 te donnera un résultat.

[arkovvvv]

donc pour la question 3)a) on a:
c(n+1) / cn
[a(n+1) - 0.375] / [an - 0.375]
[0.84 * an + 0.06 - 0.375] / [an - 0.375]
[0.84 + 0.06 - 0.375] / [-0.375] = -1.4 ?

[Roc]

C'est presque ça, c'est juste que tu dois garder les an au numérateur et dénominateur.
Ta dernière expression est différente des autres et c'est celle qui n'est pas juste.
Reprends à l'avant dernière ligne en gardant les an et trouve une relation entre le numérateur et le dénominateur.

[arkovvvv]

[0.84 * an - 0.315] / [an - 0.375] ?

[Roc]

Oui et qu'est ce que tu remarques ?

[arkovvvv]

Je remarque que [an - 0.375] > [0.84 * an - 0.315] puisque 0<an<1 et au numérateur, comme an est multiplié par 0.84 alors 0<an<0.84 ??

[Roc]

[0.84 * an - 0.315] / [an - 0.375] ?

C'est plus simple que ça, factorise par 0.84 au numérateur, tu devrais trouver la même expression qu'au dénominateur et ensuite c plus simple ...