Point fixe

[PierreTricoire]

Bonjour, je bloque sur cette question :
Soit f une fonction continue de Rn dans Rn, soit a un point de Rn et soit x0=a et x(k+1)=f(xk). Si la suite xk admet une valeur d’adhérence alors elle converge.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

L'énoncé tel que tu nous le donnes ne va pas. Soit la fonction de dans définie par pour tout réel . C'est certainement une fonction continue. On considère la suite définie par et . Cette suite admet 0 comme valeur d'adhérence, mais ne converge pas.

Peut-être ton énoncé dit-il en fait que la suite admet une unique valeur d'adhérence ?

[PierreTricoire]

Oui exact désolé j'aurai du préciser

[GaBuZoMeu]

Bien.
Dans la démonstration, l'unicité de la valeur d'adhérence jouera bien sûr un rôle important.

[PierreTricoire]

Du coup tu as une piste ?

[GaBuZoMeu]

Ben j'attendais que tu essaies quelque chose, pour éventuellement te donner un coup de pouce.
Une démarche qui devrait venir à l'esprit. Appelons l'unique valeur d'adhérence de la suite. Supposons que ne converge pas vers . On essaie de trouver une contradiction, par exemple en trouvant une seconde valeur d'adhérence.

[PierreTricoire]

Pour être honnete je poste pas une question sur internet avant d'avoir essayer moins de 2 heures et typiquement j'ai déjà essayer cette démarche sans succèe. Il se peut que je ne voit pas quelque chose d'évident.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je peux te faire un plan de travail :

1°) Montrer que . (indice : on peut extraire une suite qui converge vers ).

On suppose à partir de maintenant que ne converge pas vers . Alors il existe un tel qu'il y a une infinité de tels que .

2°) Montrer qu'il existe tel qu'il y ait une infinité de tels que (indice : utiliser 1° et la continuité de ).

3°) Conclure.

[PierreTricoire]

J'avais déjà fait la 1 et la 2 je viens simplement de me rappeller de la compacité. Merci.

[GaBuZoMeu]

Si tu avais déjà fait 1 et 2, pourquoi ne l'as-tu pas dit ?
À part écrire que tu as passé deux heures dessus, tu n'as donné aucune indication de recherche que tu aurais déjà faite sur l'exercice. Mets un peu du tien quand tu demandes de l'aide !

[PierreTricoire]

Oui je le ferais le prochaine fois, j'avais trouvé tellement de choses qui me semblait inutile (qui l'étaient pour la plupart) que je n'ai pas oser faire une liste ici.